Achar uma função racional inteira f(x) de segundo grau, se f(0)=1, f(1)=0 e f(3)=5.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de segundo grau inteiro (isto é, sem denominador, mas a gente vai descobrir que não há solução inteira) tal que
f(0)=1, f(1)=0, f(3)=5
Como é de segundo grau, escrevemos
f(x)=ax^2+bx+c
Vamos usar as três condições para montar um sistema linear em a,b,c.

Passo 2

Da condição f(0)=1 segue imediatamente que
c=f(0)=1
Substituindo em f(1)=0 obtemos
acdot1^2 + bcdot1 + c =0 Longrightarrow a + b + 1 = 0 Longrightarrow a + b = -1

Passo 3

Agora usamos f(3)=5:
acdot3^2 + bcdot3 + c =5 Longrightarrow 9a + 3b + 1 = 5 Longrightarrow 9a + 3b = 4

Passo 4

Temos o sistema em
Multiplicando a primeira equação por 3 dá (3a+3b=-3]. Subtraindo dessa a segunda:

E então

Passo 5

Ficamos com
a = tfrac76, b = -tfrac136, c = 1
Assim o polinômio é
f(x) = tfrac76x^2 - tfrac136x + 1 ou f(x)=7x^2-13x+66
Note que não há solução com coeficientes todos inteiros.

Resposta

boxedf(x)=76,x^2-136,x+1

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