Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função f(x) , que é definida de duas maneiras diferentes dependendo se x é igual a 7 ou não, é contínua no ponto x = 7 . Isso envolve o estudo de continuidade de funções, que basicamente verifica se não há “quebras” ou “saltos” no gráfico da função naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e usar alguns conceitos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição de continuidade em um ponto. Dizemos que uma função f(x) é contínua em x = a se três condições forem atendidas:
A função está definida em a : ou seja, f(a) existe.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
O limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual a f(a) .
Então, nosso objetivo é verificar essas três condições para f(x) em x = 7 .
Passo 3
1. A função está definida em x = 7 ?
Sim, pelo enunciado, f(7) = 2 times 7 = 14 . Então, a função está definida em x = 7 .
Passo 4
2. O limite de f(x) quando x se aproxima de 7 existe?
Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 7. Como a definição de f(x) muda dependendo de x ser ou não igual a 7, vamos considerar x se aproximando de 7, mas diferente de 7.
Para x neq 7 , temos:
f(x) = x^2 - 49x - 7
Observamos que x^2 - 49 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)
Então, substituindo na expressão de f(x) :
f(x) = (x - 7)(x + 7)x - 7
Agora, podemos cancelar x - 7 no numerador e denominador (desde que x neq 7 ):
f(x) = x + 7
Então, o limite quando x se aproxima de 7 de f(x) é:
limx to 7 f(x) = limx to 7 (x + 7) = 7 + 7 = 14
Passo 5
3. O limite de f(x) quando x se aproxima de 7 é igual a f(7) ?
Calculamos que:
limx to 7 f(x) = 14
E também:
f(7) = 14
Como os dois valores são iguais, a terceira condição para continuidade é satisfeita.
Resposta
Como todas as condições para continuidade em x = 7 são atendidas, podemos concluir que a função f(x) é contínua em x = 7 .