Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :
Passo 1
Temos a EDO
. O conteúdo é equação de coeficientes homogêneos: vamos precisar identificar o grau de homogeneidade das funções que multiplicam
e
e depois usar a substituição
.
Passo 2
As funções que aparecem são
e
. Ambas são homogêneas de grau
(cada termo é de grau 2 em
). Logo, o grau da equação é 2.
Passo 3
Para resolver, usamos a teoria: se
são homogêneas de mesmo grau, a substituição
reduz a EDO a variáveis separáveis. Calculamos
.
Passo 4
Substituindo em
e dividindo por
(não-nulo):
Simplificando fica
Reorganizando para separar variáveis:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo dá
e o direito
. Voltando a
e exponenciando, obtemos
Resposta
A equação é homogênea de grau 2 e sua solução geral é