Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :

Passo 1

Temos a EDO (x^2-y^2)-2x y,y'=0. O conteúdo é equação de coeficientes homogêneos: vamos precisar identificar o grau de homogeneidade das funções que multiplicam 1 e y' e depois usar a substituição y=ux.

Passo 2

As funções que aparecem são M(x,y)=x^2-y^2 e N(x,y)=-2xy. Ambas são homogêneas de grau 2 (cada termo é de grau 2 em x,y). Logo, o grau da equação é 2.

Passo 3

Para resolver, usamos a teoria: se M,N são homogêneas de mesmo grau, a substituição y=ux reduz a EDO a variáveis separáveis. Calculamos y'=u+xtfracdudx.

Passo 4

Substituindo em (x^2-y^2)-2xy,y'=0 e dividindo por x^2 (não-nulo):
1 - u^2 - 2ul(u + xtfracdudxr)=0
Simplificando fica
1 - 3u^2 - 2u xtfracdudx=0
Reorganizando para separar variáveis:
2u,du/(1-3u^2)=dx/x

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral 2u,du1-3u^2=integral dxx
O lado esquerdo dá -tfrac13ln|1-3u^2| e o direito ln|x|+C. Voltando a u=y/x e exponenciando, obtemos
x^3-3xy^2=C'

Resposta

A equação é homogênea de grau 2 e sua solução geral é
x^3-3xy^2=C

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