Determine o polinômio de Taylor de ordem 4 em volta de x0 dado
(a) f(x)=sen(x), com x0=0.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de x0=0 para a função f(x)=sen(x). O conteúdo principal é série de Taylor (ou Maclaurin, já que o ponto é zero) e vamos precisar das derivadas de f até a quarta ordem.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas de f(x)=sen(x) e avalie-as em x=0:
f(x)=sen(x)
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sen(x)
f'''(x)=-cos(x)
f''''(x)=sen(x)
Avaliações em x=0:
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1, f''''(0)=0

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de x0=0 é dado por
T4(x)=sumk=0^4f^(k)(0)k!,x^k
Substituindo os valores encontrados:
T4(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3+f''''(0)4!x^4 = 0 + 1cdot x + 0 - 13!x^3 + 0 = x - x^36

Resposta

T4(x)=x-dfracx^36

Exercícios relacionados