Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :
Passo 1
Temos a equação de coeficientes homogêneos
O objetivo é achar o grau (no derivado) e a solução geral. Vamos usar o fato de que os termos em
são homogêneos de mesmo grau e aplicar a substituição
.
Passo 2
O grau da equação é a maior potência com que aparece
quando ela é escrita como polinômio em
. Aqui
aparece somente na 1ª potência, logo o grau é 1.
Passo 3
Reescrevendo a equação para isolar
:
Logo
Note que o lado direito depende só da razão
.
Passo 4
Fazendo a troca
, então
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Agora temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados,
Chamando
, vem
Passo 6
Voltando a
, a solução geral fica
ou ainda
que equivale a
Resposta
Grau = 1; solução geral