Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :

Passo 1

Temos a equação de coeficientes homogêneos
(x^2+y^2)-x,y,y'=0
O objetivo é achar o grau (no derivado) e a solução geral. Vamos usar o fato de que os termos em x,y são homogêneos de mesmo grau e aplicar a substituição y=u,x.

Passo 2

O grau da equação é a maior potência com que aparece y' quando ela é escrita como polinômio em y'. Aqui y' aparece somente na 1ª potência, logo o grau é 1.

Passo 3

Reescrevendo a equação para isolar y':
x,y,y' = x^2+y^2
Logo
y' = x^2+y^2x,y = x^2x,y+y^2x,y = xy+yx
Note que o lado direito depende só da razão y/x.

Passo 4

Fazendo a troca y=u,x, então
y' = u + xdudx
Substituindo em y' = xy+yx = u + 1u, obtemos
u + xdudx = u + 1u Longrightarrow xdudx = 1u

Passo 5

Agora temos uma equação separável:
u,du = dxx
Integrando ambos os lados,
integral u,du = integral dxx Longrightarrow u^22 = ln|x| + C
Chamando C1=2C, vem
u^2 = 2ln|x| + C1

Passo 6

Voltando a u = y/x, a solução geral fica
l(yxr)^2 = 2ln|x| + C1
ou ainda
y^2 = x^2l(2ln|x| + C1r)
que equivale a
y = pm xraiz2ln|x| + C1

Resposta

Grau = 1; solução geral
y^2 = x^2l(2ln|x| + Cr)ou y = pm xraiz2ln|x| + C

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