As questões 1. a 2. são referentes à equação diferencial y^prime prime+2 y^prime-3 y=0. y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Qual é o valor de ?
(a) -4
(b) 2
© -3
(d) 1
(e) NDA

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y'' + 2y' - 3y = 0 e pede para encontrar lnl(y1(2)r) + lnl(y2(2)r), onde y1 e y2 são soluções fundamentalmente independentes. Vamos usar a teoria de equações de coeficientes constantes para achar essas soluções.

Passo 2

Para resolver y'' + 2y' - 3y = 0, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2r - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação de segundo grau por fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-3)2cdot1 = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm 42

Passo 4

Logo, os dois valores de r são
r1 = 1, r2 = -3

Passo 5

As soluções fundamentais correspondentes são da forma e^rx, então podemos escolher
y1(x) = e^x, y2(x) = e^-3x

Passo 6

Avalia-se cada uma em x=2:
y1(2) = e^2, y2(2) = e^-6

Passo 7

Agora somamos os logaritmos:
lnl(y1(2)r) + lnl(y2(2)r) = ln(e^2) + ln(e^-6) = 2 + (-6) = -4

Resposta

-4

Exercícios relacionados