Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :
x-(x+y) y^{\prime}=y
x-(x+y) y^{\prime}=y
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial x - (x+y) y’ = y. Isso é uma EDO de primeira ordem cujos coeficientes formam funções homogêneas de x e y. Precisamos achar o grau de homogeneidade dessas funções e, em seguida, obter a solução geral.
Passo 2
Reescrevendo em forma normal, isolamos y’:
Note que o numerador e o denominador são ambos homogêneos de grau 1 em (x,y), logo o grau de homogeneidade é 1.
Passo 3
Para resolver, fazemos a substituição padrão de EDO homogênea: y = v x, então y’ = v + x,dv/dx. Substituindo em y’ = (x - y)/(x + y) resulta:
Passo 4
Isolamos x,dv/dx:
e separamos as variáveis:
Passo 5
Integramos ambos os lados. No lado de v, fazemos u = v + 1, obtendo
No lado de x,
.
Passo 6
Igualando as integrais e combinando constantes, chegamos a
Elevando exponencialmente e voltando a v = y/x, obtém-se a forma implícita da solução:
Passo 7
Fazendo v = y/x, a constante certa e simplificando, a solução geral fica
Resposta
O grau de homogeneidade é 1 e a solução geral é
, com C constante arbitrária.