Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :
x-(x+y) y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial x - (x+y) y’ = y. Isso é uma EDO de primeira ordem cujos coeficientes formam funções homogêneas de x e y. Precisamos achar o grau de homogeneidade dessas funções e, em seguida, obter a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo em forma normal, isolamos y’:
y' = x - yx + y
Note que o numerador e o denominador são ambos homogêneos de grau 1 em (x,y), logo o grau de homogeneidade é 1.

Passo 3

Para resolver, fazemos a substituição padrão de EDO homogênea: y = v x, então y’ = v + x,dv/dx. Substituindo em y’ = (x - y)/(x + y) resulta:
v + xdvdx = 1 - v1 + v

Passo 4

Isolamos x,dv/dx:
xdvdx = 1 - v1 + v - v = 1 - 2v - v^21 + v
e separamos as variáveis:
1 + v1 - 2v - v^2,dv = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados. No lado de v, fazemos u = v + 1, obtendo
integral 1+v1 - 2v - v^2,dv = -12 lnl((v + 1)^2 - 2r) + C1
No lado de x, integral dx/x = ln|x| + C2.

Passo 6

Igualando as integrais e combinando constantes, chegamos a
lnl((v + 1)^2 - 2r) = -2ln|x| + C
Elevando exponencialmente e voltando a v = y/x, obtém-se a forma implícita da solução:

Passo 7

Fazendo v = y/x, a constante certa e simplificando, a solução geral fica
(y + x)^2 - 2x^2 = C

Resposta

O grau de homogeneidade é 1 e a solução geral é (y + x)^2 - 2x^2 = C, com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados