As questões 1. a 2. são referentes à equação diferencial y^prime prime+2 y^prime-3 y=0. y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Sejam y(0)=1 e y^prime(0)=1 suas condições iniciais, qual é o valor de C1+C2 ?
(a) 1
(b) 2
© 0
(d) -3
(e) NDA

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
– Equação: y’’ + 2y’ – 3y = 0
– Solução geral: y = C₁ y₁ + C₂ y₂
– Condições iniciais: y(0) = 1 e y’(0) = 1
Queremos encontrar o valor de C₁ + C₂.

Passo 2

Para resolver a EDO, montamos a equação característica associada substituindo y ≍ e^{rx}:
r^2 + 2r - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo-a, usamos fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = -2 pm raiz162 = -3,,1

Passo 4

Como as raízes são r₁ = 1 e r₂ = -3, a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^-3x
e sua derivada é
y'(x) = C1 e^x - 3C2 e^-3x

Passo 5

Aplicando as condições iniciais em x = 0:
y(0)=1 implies C1 + C2 = 1
y'(0)=1 implies C1 - 3C2 = 1

Passo 6

Isso nos dá o sistema de duas equações lineares em C₁, C₂. Subtraindo-as:
(C1 - 3C2) - (C1 + C2) = 1 - 1 implies -4C2 = 0 implies C2 = 0

Passo 7

Substituindo de volta em C₁ + C₂ = 1, obtemos C₁ = 1. Logo,
O valor de C₁ + C₂ é 1.

Resposta

1

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