Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Vamos analisar a função
, que é uma função exponencial modificada pelo sinal negativo. Vamos precisar de domínio natural de exponenciais, análise de limites para encontrar assíntotas, estudo da monotonicidade e do intercepto para esboçar o gráfico.
Passo 2
A função
está definida para todo
. Não há denominadores nem raízes de índice par, então o domínio de
é
Passo 3
Sabemos que
varia em
. Como há um sinal negativo na frente, a imagem de
será
Passo 4
Para esboçar, vamos olhar os limites:
– Quando ,
e portanto
. Há uma assíntota horizontal em
, pelo lado negativo.
– Quando ,
e assim
.
– Quando
– Quando
Passo 5
Vejamos também o intercepto e a monotonicidade:
– , então o ponto
.
– Derivada: . Logo,
é crescente em todo
.
Com isso, o gráfico é uma curva exponencial crescente, inteiramente abaixo do eixo , passando por
e aproximando-se de
sem tocar.
–
– Derivada:
Com isso, o gráfico é uma curva exponencial crescente, inteiramente abaixo do eixo
Passo 6
Pronto! Temos domínio, imagem e características suficientes para desenhar o esboço: curva que cresce da parte muito negativa (quando
é grande negativo) até se aproximar de
(quando
cresce).
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico: curva exponencial crescente abaixo do eixo x, assíntota horizontal em
e intercepto em
.