Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
f(x)=-e^-x

Passo 1

Vamos analisar a função , que é uma função exponencial modificada pelo sinal negativo. Vamos precisar de domínio natural de exponenciais, análise de limites para encontrar assíntotas, estudo da monotonicidade e do intercepto para esboçar o gráfico.

Passo 2

A função R está definida para todo . Não há denominadores nem raízes de índice par, então o domínio de é

Passo 3

Sabemos que (-infty,0) varia em . Como há um sinal negativo na frente, a imagem de será

Passo 4

Para esboçar, vamos olhar os limites:
– Quando , e portanto . Há uma assíntota horizontal em , pelo lado negativo.
– Quando , e assim .

Passo 5

Vejamos também o intercepto e a monotonicidade:
, então o ponto .
– Derivada: . Logo, é crescente em todo .
Com isso, o gráfico é uma curva exponencial crescente, inteiramente abaixo do eixo , passando por e aproximando-se de sem tocar.

Passo 6

Pronto! Temos domínio, imagem e características suficientes para desenhar o esboço: curva que cresce da parte muito negativa (quando é grande negativo) até se aproximar de (quando cresce).

Resposta

Domínio: . Imagem: . Gráfico: curva exponencial crescente abaixo do eixo x, assíntota horizontal em e intercepto em .

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