As questões 3. a 5. são referentes à equação diferencial y^prime prime+8 y^prime-9 y=0, de variável independente t >= 0 y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Qual é o valor de ?
(a) -16
(b) 0
© 20
(d) -8
(e) NDA

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem y'' + 8y' - 9y = 0, pede duas soluções fundamentais y1 e y2 linearmente independentes e quer o valor de ln(y1(2)) + ln(y2(2)). Vamos usar a técnica de equação característica para encontrar y1 e y2.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
r = -8 pm raiz8^2 - 4cdot1cdot(-9)2 = -8 pm raiz1002

Passo 4

Isso dá as raízes
r1 = 1, r2 = -9

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais são
y1(t) = e^t, y2(t) = e^-9t

Passo 6

Agora basta avaliar em t=2:
y1(2) = e^2, y2(2) = e^-18

Passo 7

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lnl(y1(2)r) + lnl(y2(2)r) = 2 + (-18) = -16

Resposta

-16

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