Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :
x y{\prime}-y=\sqrt{x{2}+y^{2}}
x y{\prime}-y=\sqrt{x{2}+y^{2}}
Passo 1
A equação dada é
. Isso é uma EDO de primeira ordem com termos homogêneos (todos têm grau 1 em
), e vamos usar substituição para resolvê-la.
O grau de uma EDO é o maior expoente em que aparece numa forma polinomial. Aqui
aparece na primeira potência e não dentro de raízes ou frações, logo o grau é 1.
O grau de uma EDO é o maior expoente em que aparece
Passo 2
Para ver que é uma equação homogênea, basta escrever
Passo 3
Note que o lado direito depende só de
. Então fazemos
, logo
$$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
$$
Passo 4
Substituindo na EDO original:
$$x\bigl(v+x\tfrac{dv}{dx}\bigr)-vx=\sqrt{x2+(vx)2} \quad\Rightarrow\quad x2\frac{dv}{dx}=|x|\sqrt{1+v2}.
$$
Passo 5
Assumindo
(caso similar para
),
Passo 6
Agora separam-se variáveis:
$$\frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=\frac{dx}{x}.
$$
Passo 7
Integrando ambos os lados:
$$\operatorname{arcsinh}(v)=\ln|x|+C.
$$
Passo 8
Voltando a
, a solução implícita é
$$\operatorname{arcsinh}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=\ln|x|+C.
$$
Resposta
Solução geral (implícita):
e grau da EDO = 1.