Achar o grau das equações de coeficientes homogéneos seguintes e determinar as soluções gerais :
x y{\prime}-y=\sqrt{x{2}+y^{2}}

Passo 1

A equação dada é xdydx-y=raizx^2+y^2. Isso é uma EDO de primeira ordem com termos homogêneos (todos têm grau 1 em x,y), e vamos usar substituição para resolvê-la.
O grau de uma EDO é o maior expoente em que aparece dydx numa forma polinomial. Aqui dydx aparece na primeira potência e não dentro de raízes ou frações, logo o grau é 1.

Passo 2

Para ver que é uma equação homogênea, basta escrever
dydx=y+raizx^2+y^2x

Passo 3

Note que o lado direito depende só de y/x. Então fazemos y=vx, logo
$$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
$$

Passo 4

Substituindo na EDO original:
$$x\bigl(v+x\tfrac{dv}{dx}\bigr)-vx=\sqrt{x2+(vx)2} \quad\Rightarrow\quad x2\frac{dv}{dx}=|x|\sqrt{1+v2}.
$$

Passo 5

Assumindo x>0 (caso similar para x<0),
x^2dvdx=xraiz1+v^2Longrightarrow xdvdx=raiz1+v^2

Passo 6

Agora separam-se variáveis:
$$\frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=\frac{dx}{x}.
$$

Passo 7

Integrando ambos os lados:
$$\operatorname{arcsinh}(v)=\ln|x|+C.
$$

Passo 8

Voltando a v=y/x, a solução implícita é
$$\operatorname{arcsinh}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=\ln|x|+C.
$$

Resposta

Solução geral (implícita):
arcsinhl(yxr)=ln|x|+C,
e grau da EDO = 1.

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