Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Estamos lidando com a função f(x)=1−e^{−x}. O conteúdo é análise de função exponencial: vamos precisar conhecer domínio e propriedades da exponencial para extrair domínio, imagem e comportamento do gráfico.
Passo 2
Como e^{−x} está definida para todo x∈ℝ, não há restrição de domínio. Logo o domínio de f é ℝ.
Passo 3
Para a imagem, note que e^{−x}>0 para todo x. Assim 1−e^{−x}<1 sempre. Com x→−∞, e^{−x}→+∞, logo f(x)→−∞. Com x→+∞, e^{−x}→0, logo f(x)→1. Portanto a imagem de f é (−∞,1).
Passo 4
Para esboçar o gráfico, identificamos: intercepto em x=0 dá f(0)=1−1=0; assíntota horizontal y=1 pois f(x)→1 quando x→+∞; f é crescente porque f′(x)=e^{−x}>0; e é côncava para baixo pois f″(x)=−e^{−x}<0. Assim desenhamos uma curva crescente que sai de −∞ para x→−∞, cruza (0,0), aproxima-se de y=1 sem nunca tocar.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Esboço: curva crescente e côncava para baixo, intercepta (0,0), com assíntota horizontal
, partindo de
quando
e aproximando-se de 1 quando
.