Determine o domínio, a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
f(x)=1-e^-x

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x)=1−e^{−x}. O conteúdo é análise de função exponencial: vamos precisar conhecer domínio e propriedades da exponencial para extrair domínio, imagem e comportamento do gráfico.

Passo 2

Como e^{−x} está definida para todo x∈ℝ, não há restrição de domínio. Logo o domínio de f é ℝ.

Passo 3

Para a imagem, note que e^{−x}>0 para todo x. Assim 1−e^{−x}<1 sempre. Com x→−∞, e^{−x}→+∞, logo f(x)→−∞. Com x→+∞, e^{−x}→0, logo f(x)→1. Portanto a imagem de f é (−∞,1).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, identificamos: intercepto em x=0 dá f(0)=1−1=0; assíntota horizontal y=1 pois f(x)→1 quando x→+∞; f é crescente porque f′(x)=e^{−x}>0; e é côncava para baixo pois f″(x)=−e^{−x}<0. Assim desenhamos uma curva crescente que sai de −∞ para x→−∞, cruza (0,0), aproxima-se de y=1 sem nunca tocar.

Resposta

Domínio: . Imagem: (−∞,1). Esboço: curva crescente e côncava para baixo, intercepta (0,0), com assíntota horizontal y=1, partindo de −∞ quando x→−∞ e aproximando-se de 1 quando x→+∞.

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