Neste exercício vamos mostrar a expansão de Taylor de em torno de 0, obter o termo de resto de Lagrange e usar isso para aproximar . Precisaremos do Teorema de Taylor com resto, da propriedade de que todas as derivadas de são e de argumentos de convergência de séries.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Taylor de ordem para em torno de 0, como , obtemos:
Além disso, existe entre 0 e tal que
Passo 3
Para estimar o módulo do resto, usamos que . Logo:
Passo 4
Como e^|x||x|^n+1/(n+1)!to0 quando ntoinfty, o resto En(x) tende a zero e, portanto, a soma parcial
1+x+x^22!+cdots+x^nn!
aproxima e^x com arbitrariamente boa precisão para n grande.
Passo 5
Para aproximar e^2, escolhemos n=10 e calculamos a soma parcial: