(a) Mostre que para todo x in R vale
e^x=1+x+x^22!+x^33!+x^44!+cdots+x^nn!+En(x),
1+x+x^22!+x^33!+x^44!+cdots+x^nn!, .
(b) Justifique que a soma
n
para um e^x grande o suficiente é uma boa aproximação para e^2.
© Calcule aproximações para e^-1 e .

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar a expansão de Taylor de e^x em torno de 0, obter o termo de resto de Lagrange e usar isso para aproximar e^x. Precisaremos do Teorema de Taylor com resto, da propriedade de que todas as derivadas de e^x são e^x e de argumentos de convergência de séries.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Taylor de ordem n para f(x)=e^x em torno de 0, como f^(k)(0)=1, obtemos:
e^x=1+x+x^22!+cdots+x^nn!+En(x)
Além disso, existe xi entre 0 e x tal que
En(x)=e^xix^n+1(n+1)!

Passo 3

Para estimar o módulo do resto, usamos que |e^xi|<= e^|x|. Logo:
|En(x)|=|e^xix^n+1(n+1)!|<= e^|x||x|^n+1(n+1)!

Passo 4

Como e^|x||x|^n+1/(n+1)!to0 quando ntoinfty, o resto En(x) tende a zero e, portanto, a soma parcial
1+x+x^22!+cdots+x^nn!
aproxima e^x com arbitrariamente boa precisão para n grande.

Passo 5

Para aproximar e^2, escolhemos n=10 e calculamos a soma parcial:
S10(2)=sumk=0^102^kk!approx7.38906

Passo 6

Para aproximar e^-1, usamos n=8 e obtemos:
S8(-1)=sumk=0^8(-1)^kk!approx0.36788

Resposta

e^2approx7.38906 e e^-1approx0.36788.

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