Achar as integrais:
integral racd x3 x^2-x+1.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dx3x^2-x+1
O conteúdo principal aqui é completar o quadrado no denominador e usar a fórmula
integral du1+u^2=arctan(u)+C

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em 3x^2-x+1. Temos
3x^2-x+1 =3l(x^2-tfracx3+tfrac13r) =3l[l(x-tfrac16r)^2+tfrac1136r]

Passo 3

Então
integral dx3x^2-x+1 =integral dx3l[(x-tfrac16)^2+tfrac1136r] =integral dxtfrac1112l[1+tfrac3611(x-tfrac16)^2r] =1211integral dx1+tfrac3611(x-tfrac16)^2

Passo 4

Fazemos a substituição
v = 6raiz11l(x-tfrac16r), dv = 6raiz11,dx ;Longrightarrow; dx = raiz116,dv
Assim
1211integral dx1+tfrac3611(x-tfrac16)^2 =1211integral tfracraiz116,dv1+v^2 =2raiz1111integral dv1+v^2

Passo 5

Usando
integral dv1+v^2=arctan(v)+C
obtém-se
2raiz1111arctan(v)+C

Passo 6

Voltando à variável x, temos v=(6x-1)/raiz11. Logo a integral original é
2raiz1111,arctan!l(6x-1raiz11r)+C

Resposta

integral dx3x^2-x+1 =2raiz1111,arctan!l(6x-1raiz11r)+C

Exercícios relacionados