Achar as integrais:
integral racx d xx^2-7 x+13.

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular integral x,dxx^2-7x+13. Este é um problema de integração de função racional. Para resolver, vamos reescrever o numerador de modo a obter um termo do tipo u'/u e, em seguida, completar o quadrado no denominador para o termo restante que leva a uma função arctan.

Passo 2

Decompondo o numerador x em função de 2x-7 (derivada de x^2-7x+13) mais constante, temos
x = 12,(2x-7) + 72
Logo
xx^2-7x+13 = 12 ,2x-7x^2-7x+13 + 72 ,1x^2-7x+13

Passo 3

Para o primeiro termo, faça u = x^2-7x+13, de onde du = (2x-7),dx. Assim,
integral 12,2x-7x^2-7x+13,dx = 12 integral duu = 12 lnl|ur| + C1 = 12 lnl|x^2-7x+13r| + C1

Passo 4

Para o segundo termo, complete o quadrado no denominador:
x^2-7x+13 = l(x-tfrac72r)^2 + tfrac34 = l(x-tfrac72r)^2 + l(tfracraiz32r)^2
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integral dxx^2-7x+13 = integral dx(x-tfrac72)^2+(tfracraiz32)^2 = 2raiz3,arctan!l(2(x-tfrac72)raiz3r) + C2
Multiplicando por tfrac72, obtemos
integral 72,dxx^2-7x+13 = 7raiz3,arctan!l(2x-7raiz3r) + C3

Passo 5

Somando as duas partes e reunindo as constantes de integração numa única constante C, concluímos que
integral x,dxx^2-7x+13 = 12 lnl|x^2-7x+13r| + 7raiz3,arctan!l(2x-7raiz3r) + C

Resposta

integral x,dxx^2-7x+13 = 12 lnl|x^2-7x+13r| + 7raiz3,arctan!l(2x-7raiz3r) + C

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