Determine o comprimento das curvas abaixo:
y=4 raiz23 x^32-1, de x=0 a x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o comprimento da curva dada por y = 4 raiz23 x^32 - 1 no intervalo de x = 0 até x = 1 . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva y = f(x) entre x = a e x = b . A fórmula é:
L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Isso significa que vamos precisar derivar a função y em relação a x , elevar ao quadrado, adicionar 1, tirar a raiz quadrada e depois integrar de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar derivando a função y . Nossa função é:
y = 4 raiz23 x^32 - 1
A derivada de y em relação a x é:
dydx = 4 raiz23 cdot 32 x^12 = 2 raiz2 , x^12

Passo 4

Agora, vamos substituir dydx na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^1 raiz1 + ( 2 raiz2 , x^12 )^2 , dx
Simplificando dentro da raiz:
( 2 raiz2 , x^12 )^2 = 8x
Então:
L = integral0^1 raiz1 + 8x , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral integral raiz1 + 8x , dx . Para isso, podemos usar uma substituição simples. Seja:
u = 1 + 8x Rightarrow du = 8 , dx Rightarrow dx = du8
Substituindo na integral:
L = integral raizu cdot du8 = 18 integral u^12 , du

Passo 6

Integrando u^12 :
integral u^12 , du = 23 u^32 + C
Então:
L = 18 cdot 23 u^32 g|u(0)^u(1) = 112 u^32 g|1^9
(Observe que quando x = 0 , u = 1 + 8(0) = 1 e quando x = 1 , u = 1 + 8(1) = 9 .)

Passo 7

Agora, substituindo os limites:
L = 112 ( 9^32 - 1^32 ) = 112 ( 27 - 1 ) = 112 cdot 26 = 2612 = 136

Resposta

O comprimento da curva é 136 unidades.

Exercícios relacionados