Determine o comprimento das curvas abaixo: , de a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o comprimento da curva dada por no intervalo de até . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Isso significa que vamos precisar derivar a função em relação a , elevar ao quadrado, adicionar 1, tirar a raiz quadrada e depois integrar de 0 a 1.
Passo 3
Vamos começar derivando a função . Nossa função é:
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Para isso, podemos usar uma substituição simples. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando :
Então:
(Observe que quando x = 0 , u = 1 + 8(0) = 1 e quando x = 1 , u = 1 + 8(1) = 9 .)