Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo x.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o volume do sólido que aparece quando giramos a região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo
, cada pedacinho da curva vira um disco. O volume total é a soma de todos esses discos. A fórmula para o volume
usando esse método é:
Aqui,
é a função que descreve a curva, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são
e
.
Passo 3
Vamos identificar nossa função e os limites. A função dada é
. Então,
. Os limites são de
até
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do método dos discos com nossa função e limites:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral de
. A antiderivada de
é
. Então:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 7
Calculando os valores das funções trigonométricas:
Substituindo na expressão:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.