Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo x.
y=raizsen x, 0 <= x <= pi2, y=0, x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o volume do sólido que aparece quando giramos a região limitada pelas curvas y = raizsin x , y = 0 , x = 0 e x = pi2 em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo x , cada pedacinho da curva vira um disco. O volume total é a soma de todos esses discos. A fórmula para o volume V usando esse método é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 dx
Aqui, f(x) é a função que descreve a curva, e a e b são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e pi2 .

Passo 3

Vamos identificar nossa função e os limites. A função dada é y = raizsin x . Então, f(x) = raizsin x . Os limites são de x = 0 até x = pi2 .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do método dos discos com nossa função e limites:
V = pi integral0^pi2 ( raizsin x )^2 dx

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
( raizsin x )^2 = sin x
Então, a integral fica:
V = pi integral0^pi2 sin x , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral de sin x . A antiderivada de sin x é -cos x . Então:
integral sin x , dx = -cos x + C
Aplicando os limites de 0 a pi2 :
V = pi [ -cos ( pi2 ) + cos(0) ]

Passo 7

Calculando os valores das funções trigonométricas:
cos ( pi2 ) = 0 e cos(0) = 1
Substituindo na expressão:
V = pi [ -0 + 1 ] = pi times 1 = pi

Resposta

O volume do sólido é pi unidades cúbicas.

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