O conteúdo aqui é integração de uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador. A técnica que vamos usar é escrever o numerador como uma parte proporcional ao derivado do denominador (para produzir um ) e uma parte constante (que levará a um arco-tangente após completar o quadrado).
Passo 2
Primeiro, percebemos que o denominador
tem derivada
Como nosso numerador é , vamos tentar escrevê-lo na forma
onde e são constantes a determinar.
Passo 3
Igualando coeficientes em
temos o sistema
Da primeira equação vem A=tfrac32. Substituindo em -4A+B=-2 obtém-se
-4cdot32 + B = -2 Longrightarrow -6 + B = -2 Longrightarrow B = 4
Logo
3x - 2 = 32(2x-4) + 4
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos
integral 3x - 2x^2-4x+5,dx = integral 32(2x-4)x^2-4x+5,dx ;+; 4integral 1x^2-4x+5,dx
A primeira integral é direta, pois tfrac2x-4x^2-4x+5 é exatamente tfracD'(x)D(x). A segunda requer completar o quadrado em x^2-4x+5.
Passo 5
1. Para a parte logarítmica:
integral D'(x)D(x),dx = lnl|D(x)r| + C1 = lnl(x^2-4x+5r) + C1
Multiplicando por tfrac32 dá tfrac32ln(x^2-4x+5).
2. Para a parte arctangente, note que
x^2-4x+5 = (x-2)^2 + 1,
então
integral 1(x-2)^2+1,dx = arctan(x-2) + C2
Multiplicando por 4 dá 4,arctan(x-2).
Somando as duas partes e unificando a constante de integração C=C1+C2, obtemos a primitiva geral.
Resposta
boxed integral 3x - 2x^2-4x+5,dx = 32,lnl(x^2-4x+5r) + 4,arctan(x-2) + C