Achar as integrais:
integral rac3 x-2x^2-4 x+5 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3x - 2x^2 - 4x + 5,dx
O conteúdo aqui é integração de uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador. A técnica que vamos usar é escrever o numerador como uma parte proporcional ao derivado do denominador (para produzir um ln) e uma parte constante (que levará a um arco-tangente após completar o quadrado).

Passo 2

Primeiro, percebemos que o denominador
D(x)=x^2-4x+5
tem derivada
D'(x)=2x-4
Como nosso numerador é 3x-2, vamos tentar escrevê-lo na forma
3x-2 = A,(2x-4) + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Igualando coeficientes em
3x - 2 = 2A,x - 4A + B
temos o sistema
2A = 3, -4A + B = -2
Da primeira equação vem A=tfrac32. Substituindo em -4A+B=-2 obtém-se
-4cdot32 + B = -2 Longrightarrow -6 + B = -2 Longrightarrow B = 4
Logo
3x - 2 = 32(2x-4) + 4

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos
integral 3x - 2x^2-4x+5,dx = integral 32(2x-4)x^2-4x+5,dx ;+; 4integral 1x^2-4x+5,dx
A primeira integral é direta, pois tfrac2x-4x^2-4x+5 é exatamente tfracD'(x)D(x). A segunda requer completar o quadrado em x^2-4x+5.

Passo 5

1. Para a parte logarítmica:
integral D'(x)D(x),dx = lnl|D(x)r| + C1 = lnl(x^2-4x+5r) + C1
Multiplicando por tfrac32 tfrac32ln(x^2-4x+5).
2. Para a parte arctangente, note que
x^2-4x+5 = (x-2)^2 + 1,
então
integral 1(x-2)^2+1,dx = arctan(x-2) + C2
Multiplicando por 4 4,arctan(x-2).
Somando as duas partes e unificando a constante de integração C=C1+C2, obtemos a primitiva geral.

Resposta

boxed integral 3x - 2x^2-4x+5,dx = 32,lnl(x^2-4x+5r) + 4,arctan(x-2) + C

Exercícios relacionados