Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x.
y=raiz2 x-x^2, 1 <= x <= 2

Passo 1

Então, temos que calcular a área da superfície gerada quando a função y = raiz2x - x^2 é girada em torno do eixo x , no intervalo de x = 1 até x = 2 . Vamos precisar usar o cálculo de integrais para encontrar essa área de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Vamos derivar y = raiz2x - x^2 :
dydx = 12(2x - x^2)^-1/2 cdot (2 - 2x) = 2 - 2x2raiz2x - x^2 = 1 - xraiz2x - x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular 1 + ( dydx )^2 :
1 + ( 1 - xraiz2x - x^2 )^2 = 1 + (1 - x)^22x - x^2 = 2x - x^2 + (1 - x)^22x - x^2
Simplificando o numerador:
2x - x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1
Então:
1 + ( dydx )^2 = 12x - x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos y pela raiz de 1 + ( dydx )^2 :
y cdot raiz1 + ( dydx )^2 = raiz2x - x^2 cdot raiz12x - x^2 = raiz1 = 1

Passo 5

A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo x é:
A = 2pi integrala^b y cdot raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Substituindo os valores que encontramos:
A = 2pi integral1^2 1 , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
A = 2pi integral1^2 1 , dx = 2pi [x]1^2 = 2pi (2 - 1) = 2pi cdot 1 = 2pi

Resposta

A área da superfície de revolução é 2pi unidades quadradas.

Exercícios relacionados