Achar as integrais:
integral racx^2 d xx^2-6 x+10.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2x^2-6x+10,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional onde o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar, depois u-substituição e completar quadrado para obter um arco-tangente.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^2 por x^2-6x+10, escrevemos
x^2 = (x^2-6x+10) + (6x-10)
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x^2x^2-6x+10 = 1 + 6x-10x^2-6x+10,
e a integral vira
integral x^2x^2-6x+10,dx = integral 1,dx + integral 6x-10x^2-6x+10,dx

Passo 3

Para integrar integral 6x-10x^2-6x+10,dx, escrevemos o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante. Note que
ddx(x^2-6x+10) = 2x-6,
e buscamos A e B tais que
6x-10 = A(2x-6) + B
Igualando coeficientes, A=3 e B=8. Então
integral 6x-10x^2-6x+10,dx = 3integral 2x-6x^2-6x+10,dx +8integral 1x^2-6x+10,dx
A primeira parte é
3integral 2x-6x^2-6x+10,dx =3lnl(x^2-6x+10r)
Para a segunda, completamos o quadrado no denominador:
x^2-6x+10=(x-3)^2+1,
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integral 1(x-3)^2+1,dx =arctan(x-3)
Multiplicando por 8, obtemos 8arctan(x-3).

Passo 4

Somando tudo, a integral original vale
integral x^2x^2-6x+10,dx = x + 3lnl(x^2-6x+10r) + 8arctan(x-3) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x + 3lnl(x^2-6x+10r) + 8arctan(x-3) + C

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