Achar as integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo envolvido é integração de função racional onde o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Vamos usar divisão de polinômios para simplificar, depois u-substituição e completar quadrado para obter um arco-tangente.
Passo 2
Fazendo a divisão de
por
, escrevemos
Logo
e a integral vira
Passo 3
Para integrar
, escrevemos o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante. Note que
e buscamos
e
tais que
Igualando coeficientes,
e
. Então
A primeira parte é
Para a segunda, completamos o quadrado no denominador:
logo
Multiplicando por
, obtemos
.
Passo 4
Somando tudo, a integral original vale
onde
é a constante de integração.