Achar as integrais:
integral rac(x-1)^2x^2+3 x+4 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx
Os conteúdos que vamos usar são: divisão de polinômios para separar parte polinomial e parte racional própria, decomposição em parte proporcional à derivada do denominador e parte constante, e depois integrais de forma integral f'(x)/f(x),dx (logaritmo) e integral dx/(x^2+a^2) (arctangente).

Passo 2

Expandimos o numerador e fazemos a divisão polinomial:
(x-1)^2=x^2-2x+1,
e dividindo
x^2-2x+1x^2+3x+4=1+(x^2-2x+1)-(x^2+3x+4)x^2+3x+4 =1+-5x-3x^2+3x+4
Logo,
integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx =integral 1,dx+integral -5x-3x^2+3x+4,dx =x+integral -5x-3x^2+3x+4,dx

Passo 3

Para integrar integral-5x-3x^2+3x+4,dx, escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador 2x+3 mais constante. Queremos A e B tais que
-5x-3 = A,(2x+3) + B
Comparando coeficientes em x e termo livre, obtemos
2A = -5;Rightarrow;A=-tfrac52, 3A + B = -3;Rightarrow;B = -3 - 3l(-tfrac52r)=tfrac92
Portanto
-5x-3x^2+3x+4 =-52cdot2x+3x^2+3x+4 +9/2x^2+3x+4

Passo 4

Agora separamos a integral em duas:
integral -5x-3x^2+3x+4,dx =-52integral 2x+3x^2+3x+4,dx +92integral 1x^2+3x+4,dx
A primeira parte é imediata, pois integral f'(x)/f(x),dx = ln|f(x)|. Aqui f(x)=x^2+3x+4 e f'(x)=2x+3, logo
-52integral 2x+3x^2+3x+4,dx =-52 lnl(x^2+3x+4r)

Passo 5

Para a segunda parte completamos o quadrado no denominador:
x^2+3x+4 =l(x+tfrac32r)^2+l(4-tfrac94r) =l(x+tfrac32r)^2+tfrac74
Fazendo t = x+tfrac32, dt = dx, temos
integral 1x^2+3x+4,dx =integral 1t^2+(raiz7/2)^2,dt =2raiz7arctan!l(traiz7/2r) =2raiz7arctan!l(2x+3raiz7r)
Multiplicando pelo fator tfrac92, obtemos
92integral 1x^2+3x+4,dx =92cdot2raiz7 =9raiz7arctan!l(2x+3raiz7r)

Passo 6

Juntando tudo:
integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx =x -52lnl(x^2+3x+4r) +9raiz7arctan!l(2x+3raiz7r) +C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxed integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx =x -52lnl(x^2+3x+4r) +9raiz7arctan!l(2x+3raiz7r) +C

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