Achar as integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Os conteúdos que vamos usar são: divisão de polinômios para separar parte polinomial e parte racional própria, decomposição em parte proporcional à derivada do denominador e parte constante, e depois integrais de forma
(logaritmo) e
(arctangente).
Passo 2
Expandimos o numerador e fazemos a divisão polinomial:
e dividindo
Logo,
Passo 3
Para integrar
, escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador
mais constante. Queremos
e
tais que
Comparando coeficientes em
e termo livre, obtemos
Portanto
Passo 4
Agora separamos a integral em duas:
A primeira parte é imediata, pois
. Aqui
e
, logo
Passo 5
Para a segunda parte completamos o quadrado no denominador:
Fazendo
,
, temos
Multiplicando pelo fator
, obtemos
Passo 6
Juntando tudo:
onde
é a constante de integração.