Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisa-se encontrar a área da superfície gerada ao girar a função
em torno do eixo x, para
entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de superfícies de revolução.
Passo 2
A fórmula para calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo x é:
Aqui,
, e precisamos encontrar a derivada
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Portanto,
Passo 4
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Calculando a integral:
Então,
Simplificando:
Portanto,
Resposta
A área da superfície de revolução é
unidades quadradas.