Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x.
y=2 raiz4-x, 0 <= x <= 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisa-se encontrar a área da superfície gerada ao girar a função y = 2 raiz4 - x em torno do eixo x, para x entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de superfícies de revolução.

Passo 2

A fórmula para calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo x é:
A = 2pi integrala^b y raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Aqui, y = 2 raiz4 - x , e precisamos encontrar a derivada dydx .

Passo 3

Vamos calcular dydx :
y = 2 (4 - x)^1/2 dydx = 2 cdot 12 (4 - x)^-1/2 cdot (-1) = - (4 - x)^-1/2
Portanto,
( dydx )^2 = 14 - x

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
A = 2pi integral0^1 2 raiz4 - x cdot raiz1 + 14 - x , dx
Simplificando a expressão dentro da raiz:
1 + 14 - x = 4 - x + 14 - x = 5 - x4 - x
Então,
A = 2pi integral0^1 2 raiz4 - x cdot raiz5 - x4 - x , dx = 2pi integral0^1 2 raiz5 - x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
A = 4pi integral0^1 raiz5 - x , dx
Fazendo a substituição u = 5 - x , temos du = -dx . Quando x = 0 , u = 5 e quando x = 1 , u = 4 .
A integral fica:
A = 4pi integral5^4 raizu cdot (-du) = 4pi integral4^5 raizu , du
Calculando a integral:
integral raizu , du = 23 u^3/2
Então,
A = 4pi [ 23 u^3/2 ]4^5 = 8pi3 (5^3/2 - 4^3/2)
Simplificando:
5^3/2 = 5 raiz5, 4^3/2 = 8
Portanto,
A = 8pi3 (5 raiz5 - 8)

Resposta

A área da superfície de revolução é 8pi3 (5 raiz5 - 8) unidades quadradas.

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