Achar as integrais:
integral racd xraiz2+3 x-2 x^2.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
I = integral dxraiz2 + 3x - 2x^2
O conteúdo principal aqui é integrar uma função com raiz de um polinômio quadrático, usando completar o quadrado e a fórmula
integral duraiza^2 - u^2 = arcsin!l(tfracuar) + C

Passo 2

Começamos completando o quadrado no polinômio do denominador. Note que
2 + 3x - 2x^2 = 2l(1 + tfrac32x - x^2r)
E
1 + tfrac32x - x^2 = 2516 - l(x - tfrac34r)^2
Logo
2 + 3x - 2x^2 = 2l(tfrac2516 - (x - tfrac34)^2r)

Passo 3

Extraímos a constante de baixo da raiz:
raiz2 + 3x - 2x^2 = raiz2,raiztfrac2516 - (x - tfrac34)^2
Portanto
I = integral dxraiz2,raiztfrac2516 - (x - tfrac34)^2 = 1raiz2 integral dxraiztfrac2516 - (x - tfrac34)^2

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x - tfrac34, du = dx,
de modo que
integral duraiztfrac2516 - u^2 = arcsin!l(tfracu5/4r) + C = arcsin!l(tfrac4u5r) + C

Passo 5

Voltando à variável x:
I = 1raiz2, arcsin!l(tfrac4(x - tfrac34)5r) + C = 1raiz2, arcsin!l(tfrac4x - 35r) + C

Resposta

integral dxraiz2 + 3x - 2x^2 = 1raiz2, arcsin!l(tfrac4x - 35r) + C

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