Achar as integrais:
integral rac2 x-8raiz1-x-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 2x-8raiz1 - x - x^2,dx
Aqui vamos usar duas ideias principais de cálculo integral:
1. decompor o numerador para aproveitar uma substituição u=1 - x - x^2, cujo diferencial aparece quase inteiro ali;
2. para o termo restante, completar o quadrado no radicando e empregar substituição trigonométrica.

Passo 2

Decompondo o numerador em função de u=1 - x - x^2. Calculamos
du = -(1 + 2x),dx
e notamos que podemos escrever
2x - 8 = -2,(1+2x) + 6,(x-1)
Então
integral 2x-8raiz1 - x - x^2,dx = integral -2(1+2x)raizu,dx + integral 6(x-1)raizu,dx

Passo 3

A primeira integral fica
integral -2(1+2x)raizu,dx = -2 integral -(du)raizu = 2integral duraizu = 2cdot 2raizu = 4raizu

Passo 4

Sobrou
6 integral x-1raiz1 - x - x^2,dx
Para lidar com raiz1 - x - x^2, completamos o quadrado:
1 - x - x^2 = -l(x^2+x-1r) = 54 -l(x+tfrac12r)^2
Logo, definimos
t = 2x+1raiz5, x = raiz5,t -12, dx = raiz52,dt,
e verifica-se que
raiz1 - x - x^2 = raiz52,raiz1 - t^2

Passo 5

Fazendo a troca completa, a integral torna-se combinação de
integral traiz1 - t^2,dt e integral 1raiz1 - t^2,dt,
cujas primitivadas são -raiz1 - t^2 e arcsin(t). Após simplificar constantes e reverter t=(2x+1)/raiz5, obtemos
6integral x-1raiz1 - x - x^2,dx = -6raiz1 - x - x^2 -9arcsin!l(tfrac2x+1raiz5r)

Passo 6

Somando as duas partes encontradas em

Passo 7

4raizu ;+;l[-6raizu-9arcsin(tfrac2x+1raiz5)r] = -2raiz1 - x - x^2 -9arcsin!l(tfrac2x+1raiz5r) + C

Resposta

boxed integral 2x-8raiz1 - x - x^2,dx = -2raiz1 - x - x^2 -9arcsin!l(tfrac2x+1raiz5r) + C

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