Achar as integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Aqui vamos usar duas ideias principais de cálculo integral:
. decompor o numerador para aproveitar uma substituição
, cujo diferencial aparece quase inteiro ali;
. para o termo restante, completar o quadrado no radicando e empregar substituição trigonométrica.
Passo 2
Decompondo o numerador em função de
. Calculamos
e notamos que podemos escrever
Então
Passo 3
A primeira integral fica
Passo 4
Sobrou
Para lidar com
, completamos o quadrado:
Logo, definimos
e verifica-se que
Passo 5
Fazendo a troca completa, a integral torna-se combinação de
cujas primitivadas são
e
. Após simplificar constantes e reverter
, obtemos
Passo 6
Somando as duas partes encontradas em