Achar as integrais:
integral racxraiz5 x^2-2 x+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
integral xraiz5x^2-2x+1,dx
O conteúdo principal é usar decomposição do numerador em função da derivada do radicando e completar o quadrado para tabelar a segunda parte.

Passo 2

Note que a derivada de 5x^2-2x+1 é 10x-2. Podemos escrever
x = 110(10x-2) + 15,
de modo que
integral xraiz5x^2-2x+1,dx = 110integral 10x-2raiz5x^2-2x+1,dx + 15integral 1raiz5x^2-2x+1,dx

Passo 3

Para a primeira integral, faça a substituição
u = 5x^2-2x+1, du = (10x-2),dx
Então
110integral 10x-2raizu,dx = 110integral duraizu = 110cdot 2raizu = 15raiz5x^2-2x+1

Passo 4

Para a segunda integral, complete o quadrado no radicando:
5x^2-2x+1 =5l(x^2-tfrac25xr)+1 =5l((x-tfrac15)^2-tfrac125r)+1 =5l(x-tfrac15r)^2+tfrac45 =5l((x-tfrac15)^2+(tfrac25)^2r)
Logo, fazendo z = x-tfrac15, temos
integral dxraiz5x^2-2x+1 = 1raiz5integral dzraizz^2+(tfrac25)^2 = 1raiz5 lnl|z+raizz^2+(tfrac25)^2r| + C
Voltando a x:
integral dxraiz5x^2-2x+1 = 1raiz5 ln!l|x-tfrac15+tfrac1raiz5raiz5x^2-2x+1r| + C

Passo 5

Somando as duas partes, a primitiva geral é
15raiz5x^2-2x+1 +15raiz5 ln!l|x-tfrac15+tfrac1raiz5raiz5x^2-2x+1r| + C

Resposta

boxed integral xraiz5x^2-2x+1,dx = 15raiz5x^2-2x+1 +15raiz5 ln!l|x-tfrac15+tfrac1raiz5raiz5x^2-2x+1r| + C

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