Marque V para verdadeiro ou F para falso. Justifique as alternativas falsas com um contraexemplo.
Toda sequência convergente é limitada.

Passo 1

A questão é de Análise Real e pede para determinar se a afirmação “Toda sequência convergente é limitada” é verdadeira ou falsa. Para isso vamos usar a definição de convergência de sequência e extrair daí uma cota que mostre que seus termos não escapam de um certo intervalo.

Passo 2

Suponha que (an) converge para L. Por definição, para varepsilon=1 existe NinN tal que, para todo n>= N,
|an - L| < 1

Passo 3

Para n>= N temos
|an| <= |L| + |an - L| < |L| + 1
Os termos a1,a2,dots,aN-1 são apenas um número finito de valores, então definimos
M1 = max|a1|,dots,|aN-1|
Basta então tomar
M = maxM1,;|L|+1,
pois assim |an|<= M para todo n. Isso prova que (an) é limitada.

Resposta

V

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