Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 1raiz5 n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite para descobrir se a série sumn=1^infty 1raiz5n^2+1 converge ou diverge. Basicamente, precisamos comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela soma até um certo ponto (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série: 1raiz5n^2+1. Quando n fica muito grande, o 5n^2 domina o +1, então a expressão raiz5n^2+1 se comporta como raiz5n^2 = raiz5n. Assim, para n grande, 1raiz5n^2+1 é aproximadamente 1raiz5n.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. Uma boa candidata é a série sumn=1^infty 1n, que é a famosa série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não soma a um valor finito.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Comparação no Limite. Esse teste diz que se limn to infty anbn = c, onde c é um número positivo e finito, então as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 5

Aqui, an = 1raiz5n^2+1 e bn = 1n. Vamos calcular o limite:
limn to infty 1raiz5n^2+11n = limn to infty nraiz5n^2+1

Passo 6

Simplificando o limite:
limn to infty nraiz5n^2+1 = limn to infty nnraiz5 + 1n^2 = limn to infty 1raiz5 + 1n^2 = 1raiz5

Passo 7

O limite resultou em 1raiz5, que é um número positivo e finito. Segundo o Teste da Comparação no Limite, como a série sumn=1^infty 1n diverge, a nossa série original sumn=1^infty 1raiz5n^2+1 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raiz5n^2+1 diverge.

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