Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Basicamente, precisamos comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela soma até um certo ponto (converge) ou não (diverge).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série:
. Quando
fica muito grande, o
domina o
, então a expressão
se comporta como
. Assim, para
grande,
é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. Uma boa candidata é a série
, que é a famosa série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não soma a um valor finito.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Comparação no Limite. Esse teste diz que se
, onde
é um número positivo e finito, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 5
Aqui,
e
. Vamos calcular o limite:
Passo 6
Simplificando o limite:
Passo 7
O limite resultou em
, que é um número positivo e finito. Segundo o Teste da Comparação no Limite, como a série
diverge, a nossa série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.