Achar as integrais:
integral x d xx^2-7 x+13.

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral integral x , dxx^2 - 7x + 13. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral como completar o quadrado e decompor a fração. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: x^2 - 7x + 13. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão num formato que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 3

Completar o quadrado do denominador:
x^2 - 7x + 13 = (x^2 - 7x + (72)^2) - (72)^2 + 13
= (x - 72)^2 + 13 - 494
= (x - 72)^2 + 524 - 494
= (x - 72)^2 + 34

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral usando essa forma completada:
integral x , dx(x - 72)^2 + 34
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Mas antes disso, vamos ajustar o numerador para combinar com a derivada do denominador.

Passo 5

A derivada do denominador D = x^2 - 7x + 13 é D' = 2x - 7. Queremos expressar o numerador x em termos de D':
x = 2x - 7 + 72 = 2x - 72 + 72

Passo 6

Substituindo isso na integral:
integral 2x - 72 + 72x^2 - 7x + 13 , dx = 12 integral 2x - 7x^2 - 7x + 13 , dx + 72 integral 1x^2 - 7x + 13 , dx

Passo 7

A primeira integral é direta porque o numerador é a derivada do denominador:
12 integral 2x - 7x^2 - 7x + 13 , dx = 12 ln|x^2 - 7x + 13| + C1

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral 1(x - 72)^2 + 34 , dx. Isso se parece com a fórmula da integral que envolve a função arctan.

Passo 9

A integral de 1u^2 + a^2 é 1a arctan(ua) + C. Aplicando isso aqui:
integral 1(x - 72)^2 + (raiz32)^2 , dx = 2raiz3 arctan(2(x - 72)raiz3) + C2

Passo 10

Simplificando:
72 cdot 2raiz3 arctan(2x - 7raiz3) = 7raiz3 arctan(2x - 7raiz3)

Resposta

A integral integral x , dxx^2 - 7x + 13 é igual a:
12 ln(x^2 - 7x + 13) + 7raiz3 arctan(2x - 7raiz3) + C
onde C é a constante de integração.

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