Achar as integrais:
.
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral como completar o quadrado e decompor a fração. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador:
. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão num formato que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 3
Completar o quadrado do denominador:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral usando essa forma completada:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Mas antes disso, vamos ajustar o numerador para combinar com a derivada do denominador.
Passo 5
A derivada do denominador
é
. Queremos expressar o numerador
em termos de
:
Passo 6
Substituindo isso na integral:
Passo 7
A primeira integral é direta porque o numerador é a derivada do denominador:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Isso se parece com a fórmula da integral que envolve a função arctan.
Passo 9
A integral de
é
. Aplicando isso aqui:
Passo 10
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.