Achar o intervalo de convergência das seguintes séries e investigar a convergência nos extremos deste intervalo: Resp.
Passo 1
O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências
e investigar os extremos desse intervalo. O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potências e, em seguida, testes de convergência pontual (comparação ou integral) nos extremos.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão às parcelas
Calculamos
Como limntoinfty(2n-1)/(2n+1)=1, o teste diz que a série converge se
|x^2|<1Long<=ftrightarrow|x|<1
e diverge se |x|>1. Logo, o raio de convergência é R=1 e, até aqui,
-1<x<1
Passo 3
Agora investigamos o extremo x=1. Nesse caso a série vira
sumn=1^infty1^2n-12n-1 =sumn=1^infty12n-1
Como 2n-1 são todos os números ímpares, essa série se comporta como a metade da série harmônica e diverge por comparação com sum1/n.