Achar o intervalo de convergência das seguintes séries e investigar a convergência nos extremos deste intervalo:
sumn=1^infty x^2 n-12 n-1 Resp. -1 prec x <= 1

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyx^2n-12n-1
e investigar os extremos desse intervalo. O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potências e, em seguida, testes de convergência pontual (comparação ou integral) nos extremos.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão às parcelas
an = x^2n-12n-1
Calculamos
|an+1an| =|x^2(n+1)-12(n+1)-1cdot2n-1x^2n-1| =l|x^2r|cdot2n-12n+1
Como limntoinfty(2n-1)/(2n+1)=1, o teste diz que a série converge se
|x^2|<1Long<=ftrightarrow|x|<1
e diverge se |x|>1. Logo, o raio de convergência é R=1 e, até aqui,
-1<x<1

Passo 3

Agora investigamos o extremo x=1. Nesse caso a série vira
sumn=1^infty1^2n-12n-1 =sumn=1^infty12n-1
Como 2n-1 são todos os números ímpares, essa série se comporta como a metade da série harmônica e diverge por comparação com sum1/n.

Passo 4

Investigamos o extremo x=-1. Aqui
sumn=1^infty(-1)^2n-12n-1 =sumn=1^infty-12n-1 =-sumn=1^infty12n-1,
que também diverge pelos mesmos argumentos do caso x=1.

Resposta

A série converge exatamente para
-1<x<1
e diverge nos pontos x=-1 e x=1.

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