Achar o intervalo de convergência das seguintes séries e investigar a convergência nos extremos deste intervalo:
sumn=1^infty x^n-1n cdot 3^n cdot ln n Resp. -3 <= x prec 3

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
sumn=1^inftyx^n-1n;3^n;ln n
e a convergência nos extremos. O conteúdo envolve o teste da razão para determinar o raio de convergência e, em seguida, testes diretos nos casos x=3 e x=-3. Também usaremos o teste da série alternada (critérios de Leibniz) no extremo x=-3.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a
an=x^n-1n;3^n;ln n
Calculamos
|an+1||an| =l|x^nr|(n+1),3^n+1,ln(n+1)cdotn,3^n,ln nl|x^,n-1r| =|x|3,nn+1,ln nln(n+1)
Quando ntoinfty, tfracnn+1to1 e tfracln nln(n+1)to1, logo
limntoinfty|an+1||an|=|x|3
Pelo teste da razão, a série converge se tfrac|x|3<1, isto é |x|<3, e diverge se |x|>3.

Passo 3

Portanto o raio de convergência é R=3 e a região de convergência é -3<x<3. Agora resta analisar os extremos x=3 e x=-3.

Passo 4

Caso x=3, cada termo fica
an=3^,n-1n;3^n;ln n =13,1n,ln n
Logo a série é (até renumerar o índice a partir de n=2, pois ln1=0 não faz sentido)
sumn=2^infty13,1n,ln n =13sumn=2^infty1n,ln n
Sabemos pelo teste de integral ou pela comparação com integral2^infty 1xln x,dx que
sum 1/(nln n) diverge. Portanto em x=3 a série diverge.

Passo 5

Caso x=-3, cada termo é
an=(-3)^n-1n;3^n;ln n =(-1)^n-13,1n,ln n
Isso é uma série alternada
sumn=2^infty(-1)^n-13,1n,ln n =13sumn=2^infty(-1)^n-1,1n,ln n
Como bn=1/(nln n) é positiva, decrescente (para n>=2) e lim bn=0, o teste de Leibniz garante convergência condicional.

Resposta

O intervalo de convergência é
-3<= x<3,
com divergência em x=3 e convergência condicional em x=-3.

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