Achar o intervalo de convergência das seguintes séries e investigar a convergência nos extremos deste intervalo: Resp.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série
e a convergência nos extremos. O conteúdo envolve o teste da razão para determinar o raio de convergência e, em seguida, testes diretos nos casos e . Também usaremos o teste da série alternada (critérios de Leibniz) no extremo .
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a
Calculamos
Quando ntoinfty, tfracnn+1to1 e tfracln nln(n+1)to1, logo
limntoinfty|an+1||an|=|x|3
Pelo teste da razão, a série converge se tfrac|x|3<1, isto é |x|<3, e diverge se |x|>3.
Passo 3
Portanto o raio de convergência é R=3 e a região de convergência é -3<x<3. Agora resta analisar os extremos x=3 e x=-3.
Passo 4
Caso x=3, cada termo fica
an=3^,n-1n;3^n;ln n =13,1n,ln n
Logo a série é (até renumerar o índice a partir de n=2, pois ln1=0 não faz sentido)
sumn=2^infty13,1n,ln n =13sumn=2^infty1n,ln n
Sabemos pelo teste de integral ou pela comparação com integral2^infty 1xln x,dx que sum 1/(nln n) diverge. Portanto em x=3 a série diverge.
Passo 5
Caso x=-3, cada termo é
an=(-3)^n-1n;3^n;ln n =(-1)^n-13,1n,ln n
Isso é uma série alternada
sumn=2^infty(-1)^n-13,1n,ln n =13sumn=2^infty(-1)^n-1,1n,ln n
Como bn=1/(nln n) é positiva, decrescente (para n>=2) e lim bn=0, o teste de Leibniz garante convergência condicional.
Resposta
O intervalo de convergência é
-3<= x<3,
com divergência em x=3 e convergência condicional em x=-3.