Demonstre que 1+x+x^2+x^3+ldots+x^n+ldots, não converge uniformemente no intervalo (-1,1), porém é uniformemente convergente em qualquer segmento do seu interior.

Passo 1

O enunciado trata da série geométrica
sumk=0^inftyx^k = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots
no intervalo (-1,1). O que muda é o tipo de convergência:
  • Queremos mostrar que não há convergência uniforme em (-1,1).
  • Mas em qualquer segmento fechado contido em (-1,1), isto é em [a,b] com -1<a<b<1, a convergência é uniforme.
    Para isso usamos a caracterização pela sequência de restos
Rn(x)=sumk=n+1^inftyx^k
e o critério de que a série converge uniformemente se e somente se supxin I|Rn(x)|to0.

Passo 2

Cálculo do resto: para |x|<1 temos
Rn(x)=x^n+1+x^n+2+cdots = x^n+11-x
Suponha, por absurdo, que a convergência fosse uniforme em (-1,1). Então, dado varepsilon=1, existiria N tal que
|Rn(x)|<1forall xin(-1,1), forall n>= N
Mas, fixado esse N, escolha xN próximo de 1, por exemplo
xN = 1 - 1N+2in(-1,1)
Então
|RN(xN)|=xN^N+11-xN =l(1-tfrac1N+2r)^N+1,(N+2)
Como limNtoinfty(1-tfrac1N+2)^N+1=e^-1, para N grande o produto fica aproximadamente (N+2)/e, que excede 1. Logo existe n>= N e xin(-1,1) com |Rn(x)|>=1, contradição. Portanto a convergência não é uniforme em (-1,1).

Passo 3

Agora seja [a,b]subset(-1,1). Defina
r = maxl|a|,|b|r,
então 0<= r<1 e para todo xin[a,b] temos |x|<= r. O resto satisfaz
|Rn(x)| = l|x^n+11-xr| <= r^n+11-r
Como limntoinftyr^n+1/(1-r)=0, segue que
supxin[a,b]|Rn(x)| <= r^n+11-rlongrightarrow0
Pelo critério dos restos, a convergência é uniforme em [a,b].

Resposta

Não há convergência uniforme em (-1,1), mas em todo segmento [a,b]subset(-1,1) a convergência é uniforme.

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