Demonstre que
, não converge uniformemente no intervalo
, porém é uniformemente convergente em qualquer segmento do seu interior.
Passo 1
O enunciado trata da série geométrica
no intervalo
. O que muda é o tipo de convergência:
- Queremos mostrar que não há convergência uniforme em
. - Mas em qualquer segmento fechado contido em
, isto é em com , a convergência é uniforme.
Para isso usamos a caracterização pela sequência de restos
e o critério de que a série converge uniformemente se e somente se
.
Passo 2
Cálculo do resto: para
temos
Suponha, por absurdo, que a convergência fosse uniforme em
. Então, dado
, existiria
tal que
Mas, fixado esse
, escolha
próximo de
, por exemplo
Então
Como
, para
grande o produto fica aproximadamente
, que excede
. Logo existe
e
com
, contradição. Portanto a convergência não é uniforme em
.
Passo 3
Agora seja
. Defina
então
e para todo
temos
. O resto satisfaz
Como
limntoinftyr^n+1/(1-r)=0 , segue que
Pelo critério dos restos, a convergência é uniforme em
[a,b] .
Resposta
Não há convergência uniforme em
(-1,1) , mas em todo segmento
[a,b]subset(-1,1) a convergência é uniforme.