Demonstre que x^21-x^42+x^63+ldots+(-1)^n-1 cdot x^2 nn+ldots, converge uniformemente em todo intervalo de convergência (-1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a série de funções
f(x)=sumn=1^infty (-1)^,n-1,x^2nn,
cujo raio de convergência é 1, ou seja, ela converge para todo xin(-1,1). Queremos mostrar que essa convergência é uniforme em cada intervalo fechado contido em (-1,1). Para isso, vamos usar o Teste de Weierstrass (M–teste).

Passo 2

Seja r tal que 0<r<1, e considere o intervalo [-r,r]subset(-1,1). Para todo xin[-r,r] e todo n>=1 temos
|(-1)^,n-1,x^2nn| =|x|^2nn <=r^2nn
Definimos então
Mn = r^2nn

Passo 3

A série numérica sumn=1^inftyMn=sumn=1^inftyr^2nn é convergente, pois é bem-conhecido que
sumn=1^inftyr^2nn =-lnl(1-r^2r)<infty (já que 0<r^2<1) á
Portanto, pelos critérios do M–teste de Weierstrass, a série
sumn=1^infty (-1)^n-1x^2nn converge uniformemente em [-r,r].

Passo 4

Como rin(0,1) foi um valor arbitrário, concluímos que para todo intervalo fechado [-r,r] com r<1 a série converge uniformemente. Esses intervalos cobrem qualquer fechado contido em (-1,1), o que prova a convergência uniforme em toda faixa interna ao intervalo de convergência.

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^n-1,x^2nn
converge uniformemente em cada intervalo fechado [-r,r]subset(-1,1), para todo 0<r<1.

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