Demonstre que , converge uniformemente em todo intervalo de convergência .
Passo 1
O enunciado nos dá a série de funções
cujo raio de convergência é , ou seja, ela converge para todo . Queremos mostrar que essa convergência é uniforme em cada intervalo fechado contido em . Para isso, vamos usar o Teste de Weierstrass (M–teste).
Passo 2
Seja tal que , e considere o intervalo . Para todo e todo temos
Definimos então
Mn = r^2nn
Passo 3
A série numérica sumn=1^inftyMn=sumn=1^inftyr^2nn é convergente, pois é bem-conhecido que
sumn=1^inftyr^2nn =-lnl(1-r^2r)<infty (já que 0<r^2<1) á
Portanto, pelos critérios do M–teste de Weierstrass, a série sumn=1^infty (-1)^n-1x^2nn converge uniformemente em [-r,r].
Passo 4
Como rin(0,1) foi um valor arbitrário, concluímos que para todo intervalo fechado [-r,r] com r<1 a série converge uniformemente. Esses intervalos cobrem qualquer fechado contido em (-1,1), o que prova a convergência uniforme em toda faixa interna ao intervalo de convergência.
Resposta
A série
sumn=1^infty(-1)^n-1,x^2nn
converge uniformemente em cada intervalo fechado [-r,r]subset(-1,1), para todo 0<r<1.