Achar o intervalo de convergência das seguintes séries e investigar a convergência nos extremos deste intervalo:
sumn=1^infty 2^n-1 x^2 n-1(4 n-3)^2 Resp. -1raiz2 <= x <= 1raiz2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty 2^n-1 x^2n-1(4n-3)^2
e depois verificar se a série converge nos extremos desse intervalo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para aplicar o Teste da Razão. A forma geral do termo da série é:
an = 2^n-1 x^2n-1(4n-3)^2
Vamos reescrever isso para facilitar os cálculos:
an = 2^n-1 x^2n-1(4n-3)^2 = 2^n cdot x^2n-12 cdot (4n-3)^2

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que para a série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Calculando an+1an:
an+1an = 2^n x^2(n+1)-1(4(n+1)-3)^22^n-1 x^2n-1(4n-3)^2 = 2^n x^2n+1(4n+1)^2 cdot (4n-3)^22^n-1 x^2n-1
Simplificando:
an+1an = 2 cdot x^2 cdot ( 4n-34n+1 )^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite L:
L = limn to infty | 2 x^2 ( 4n-34n+1 )^2 | = 2 x^2 ( 4n-34n+1 )^2
À medida que n se aproxima do infinito, 4n-34n+1 tende a 4n4n = 1. Então:
L = 2 x^2 cdot 1^2 = 2 x^2
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
2 x^2 < 1 implies x^2 < 12 implies |x| < 1raiz2

Passo 6

Então, o intervalo de convergência preliminar é:
-1raiz2 < x < 1raiz2
Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos desse intervalo, ou seja, quando x = -1raiz2 e x = 1raiz2.

Passo 7

Vamos começar com x = 1raiz2:
Substituindo na série:
sumn=1^infty 2^n-1 (1raiz2)^2n-1(4n-3)^2 = sumn=1^infty 2^n-1 cdot 2^-n + 0.5(4n-3)^2 = sumn=1^infty 2^-0.5(4n-3)^2
Isso simplifica para:
1raiz2 sumn=1^infty 1(4n-3)^2
Como a série sum 1(4n-3)^2 converge (é uma série p com p=2 > 1), então a série original também converge quando x = 1raiz2.

Passo 8

Agora, vamos verificar para x = -1raiz2:
Substituindo na série:
sumn=1^infty 2^n-1 (-1raiz2)^2n-1(4n-3)^2 = sumn=1^infty 2^n-1 cdot (-1)^2n-1 cdot 2^-n + 0.5(4n-3)^2 = sumn=1^infty -2^-0.5(4n-3)^2
Isso simplifica para:
-1raiz2 sumn=1^infty 1(4n-3)^2
Novamente, como a série sum 1(4n-3)^2 converge, a série original também converge quando x = -1raiz2.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1raiz2 <= x <= 1raiz2.

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