Achar o intervalo de convergência das seguintes séries e investigar a convergência nos extremos deste intervalo:
sumn=1^infty (3 n-2)(x-3)^n2^n-1 cdot n^n Resp. 1 <= x<5

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=3:
sumn=1^infty (3n-2),(x-3)^n2^,n-1,n^2
O conteúdo principal aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência, depois verificar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz ao termo geral
an(x)=(3n-2),(x-3)^n2^,n-1,n^2
Calculamos
limntoinftyraiz[n]l|an(x)r| =limntoinftyraiz[n]3n-22^(n-1)/n,n^2/n;|x-3| =12;|x-3|
Para convergir pelo teste da raiz precisamos de
|x-3|2<1 Longrightarrow |x-3|<2 Longrightarrow 1<x<5

Passo 3

Agora verificamos o extremo x=5. Substituindo na série, obtemos
sumn=1^infty(3n-2),2^n2^,n-1,n^2 =sumn=1^infty2,(3n-2)n^2 simsumn=1^infty6n,
que diverge por comparação com a série harmônica.

Passo 4

Verificamos o extremo x=1. Substituindo, a série vira
sumn=1^infty(3n-2),(-2)^n2^,n-1,n^2 =sumn=1^infty(-1)^n;2,(3n-2)n^2
O termo geral em valor absoluto é 2(3n-2)n^2sim6n, que decresce para zero e alterna de sinal. Logo, converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Resposta

boxed1 <= x < 5

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