Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
sumn=0^infty n!2 n+1(x-1)^n

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série de potências centrada em x=1:
sumn=0^inftyn!2n+1,(x-1)^n
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo geral an(x-1)^n, com
an=n!2n+1
Calculamos
|an+1(x-1)^n+1an(x-1)^n| =|x-1|cdot(n+1)!2(n+1)+1cdot2n+1n! =|x-1|cdot(n+1)(2n+1)2n+3

Passo 3

Observamos que
limntoinfty(n+1)(2n+1)2n+3=infty,
então o critério da razão exige |x-1|cdotinfty<1, o que só ocorre se |x-1|=0. Logo, o raio de convergência é
R=0

Passo 4

Para x=1 a série vale
sumn=0^inftyn!2n+1cdot0^n,
que se reduz a 0!1=1, logo converge. Para xneq1, os termos não tendem a zero e a série diverge. Assim, o intervalo de convergência é 1.

Resposta

Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: apenas x=1.

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