Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
sumn=0^infty (-1)^n x^n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^nn+1
O conteúdo principal é teste da razão para achar o raio R e depois verificar os limites nos extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos coeficientes an=(-1)^nn+1:
L=limntoinfty|an+1,x^n+1an,x^n| =limntoinfty|x|n+1n+2 =|x|
Para convergência absoluta precisamos de L<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Verificamos o extremo x=1. Substituindo na série temos
sumn=0^infty(-1)^nn+1,
que é uma série alternante cujos termos 1n+1 decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge.

Passo 4

Verificamos o extremo x=-1. Substituindo na série temos
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica (com índice deslocado) e diverge.

Passo 5

Juntando tudo, a convergência absoluta ocorre para |x|<1, em x=1 há convergência condicional e em x=-1 diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: -1<x<=1.

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