Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal é teste da razão para achar o raio
e depois verificar os limites nos extremos
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão aos coeficientes
:
Para convergência absoluta precisamos de
L<1 , ou seja
|x|<1 . Portanto o raio de convergência é
Passo 3
Verificamos o extremo
x=1 . Substituindo na série temos
que é uma série alternante cujos termos
1n+1 decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge.
Passo 4
Verificamos o extremo
x=-1 . Substituindo na série temos
que é a série harmônica (com índice deslocado) e diverge.
Passo 5
Juntando tudo, a convergência absoluta ocorre para
|x|<1 , em
x=1 há convergência condicional e em
x=-1 diverge.
Resposta
Raio de convergência:
R=1 .
Intervalo de convergência:-1<x<=1 .
Intervalo de convergência: