Achar a inversa para a função
, se:
Em que campos serão definidas estas funções inversas?
Passo 1
O enunciado pede a função inversa de
. O conteúdo aqui é invertibilidade de funções quadráticas, e para isso precisamos saber domínio, imagem e monotonicidade de
.
Passo 2
Vamos achar a imagem de
. Como
para todo
, temos
Logo a imagem de
é
.
Passo 3
A função
não é injetora em
porque não é monotônica em todo o seu domínio. Para torná-la bijetora e admitirmos inversa, restringimos o domínio a dois trechos onde ela é monotônica:
– em ,
é estritamente crescente;
– em ,
é estritamente decrescente.
– em
– em
Passo 4
Para achar a inversa, resolvemos
em cada restrição:
– No domínio restrito
tomamos o sinal positivo, gerando
– No domínio restrito
tomamos o sinal negativo, gerando
Passo 5
Cada inversa só faz sentido para
na imagem original, isto é,
. Além disso, os contradomínios ficam coerentes com as restrições:
– ,
–
–
–
Resposta
As inversas de
são
definida para
,
e
e
definida para