Achar a inversa para a função y, se:
y=x^2-1
Em que campos serão definidas estas funções inversas?

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de y=x^2-1. O conteúdo aqui é invertibilidade de funções quadráticas, e para isso precisamos saber domínio, imagem e monotonicidade de f(x)=x^2-1.

Passo 2

Vamos achar a imagem de f. Como x^2>=0 para todo xinR, temos
y = x^2 - 1 ;>=; -1
Logo a imagem de f é [-1,infty).

Passo 3

A função f(x)=x^2-1 não é injetora em R porque não é monotônica em todo o seu domínio. Para torná-la bijetora e admitirmos inversa, restringimos o domínio a dois trechos onde ela é monotônica:
– em [0,infty), f é estritamente crescente;
– em (-infty,0], f é estritamente decrescente.

Passo 4

Para achar a inversa, resolvemos y=x^2-1 em cada restrição:
x^2 = y + 1 Longrightarrow x = pmraizy+1
– No domínio restrito [0,infty) tomamos o sinal positivo, gerando
f1^-1(y) = raizy+1
– No domínio restrito (-infty,0] tomamos o sinal negativo, gerando
f2^-1(y) = -raizy+1

Passo 5

Cada inversa só faz sentido para y na imagem original, isto é, yin[-1,infty). Além disso, os contradomínios ficam coerentes com as restrições:
f1^-1:[-1,infty)to[0,infty),
f2^-1:[-1,infty)to(-infty,0]

Resposta

As inversas de f(x)=x^2-1 são
f1^-1(y)=raizy+1, yin[-1,infty),
definida para xin[0,infty),
e
f2^-1(y)=-raizy+1, yin[-1,infty),
definida para xin(-infty,0]

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