Achar a inversa para a função
, se:
Em que campos serão definidas estas funções inversas?
Em que campos serão definidas estas funções inversas?
Passo 1
O enunciado pede para inverter a função
ou seja, expressar
em função de
. O conteúdo envolvido é a operação inversa da composição de potência cúbica e radiciação de índice 3.
Passo 2
Para encontrar a inversa, elevamos ambos os lados ao cubo, pois a operação inversa da radiciação de índice 3 é a elevação ao cubo:
Em seguida, isolamos
:
Logo, extraindo a raiz cúbica de cada lado, obtemos
Portanto a inversa
é
Passo 3
Analisando no campo dos reais
, a função original
é bijetora porque a função
é estritamente crescente e a raiz cúbica preserva essa monotonicidade.
Assim a inversa está bem definida para todo
.
Assim a inversa
Passo 4
No campo dos complexos
, a raiz cúbica é multivalorada, de modo que surgem três ramos de inversa. Denotando
, as três possíveis inversas são
cada uma definida em
após escolha adequada de ramo para a raiz.
Resposta
Em
:
Em
: