Achar a inversa para a função y, se:
y=raiz[3]1-x^3
Em que campos serão definidas estas funções inversas?

Passo 1

O enunciado pede para inverter a função
y = raiz[3],1 - x^3,
ou seja, expressar x em função de y. O conteúdo envolvido é a operação inversa da composição de potência cúbica e radiciação de índice 3.

Passo 2

Para encontrar a inversa, elevamos ambos os lados ao cubo, pois a operação inversa da radiciação de índice 3 é a elevação ao cubo:
y^3 = 1 - x^3
Em seguida, isolamos x^3:
x^3 = 1 - y^3
Logo, extraindo a raiz cúbica de cada lado, obtemos
x = raiz[3],1 - y^3,
Portanto a inversa f^-1 é
f^-1(y) = raiz[3],1 - y^3,

Passo 3

Analisando no campo dos reais R, a função original
fcolon RtoR, f(x)=raiz[3],1 - x^3,
é bijetora porque a função xmapsto x^3 é estritamente crescente e a raiz cúbica preserva essa monotonicidade.
Assim a inversa f^-1(y)=raiz[3]1-y^3 está bem definida para todo yinR.

Passo 4

No campo dos complexos C, a raiz cúbica é multivalorada, de modo que surgem três ramos de inversa. Denotando omega = e^2pi i/3, as três possíveis inversas são
fk^-1(y) =omega^k,raiz[3],1 - y^3,, k=0,1,2,
cada uma definida em C após escolha adequada de ramo para a raiz.

Resposta

Em R:
f^-1(y)=raiz[3],1 - y^3,,domínio=R í
Em C:
fk^-1(y) =omega^k,raiz[3],1 - y^3,, k=0,1,2,omega=e^2pi i/3

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