Exercício 13. Sejam f(x)=3 x, g(x)=x-1, h(x)=sin (3 x), r(x)=raizx. Escreva as expressões algébricas das seguintes funções simplificando as expressões quando possível.
i) f circ g.
iv) h circ(f^-1).
ii) g circ f.
v) g^-1 circ g.
iii) f circ h.
vi) r circ(g^-1 circ(g^-1 cdot g)).

Passo 1

O enunciado pede para escrever as expressões algébricas de várias composições, inversas e produtos de funções. Vamos usar:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r), (ucdot v)(x)=u(x),v(x),
e a definição de inversa f^-1 satisfazendo fl(f^-1(x)r)=x. As funções são
f(x)=3x, g(x)=x-1, h(x)=sin(3x), r(x)=raizx

Passo 2

Para (fcirc g)(x) substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=f(x-1)=3,(x-1)=3x-3

Passo 3

Para (gcirc f)(x) aplicamos f e depois g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=g(3x)=3x-1

Passo 4

Para (fcirc h)(x) aplicamos h e depois f:
(fcirc h)(x)=fl(h(x)r)=fl(sin(3x)r)=3sin(3x)

Passo 5

Para (hcirc f^-1)(x) primeiro obtemos f^-1 resolvendo y=3xRightarrow x=y/3:
f^-1(x)=x3
Então
(hcirc f^-1)(x)=hl(f^-1(x)r)=sinl(3cdottfracx3r)=sin(x)

Passo 6

Para (g^-1circ g)(x) achamos g^-1 resolvendo y=x-1Rightarrow x=y+1:
g^-1(x)=x+1
Logo
(g^-1circ g)(x)=g^-1l(g(x)r)=(x-1)+1=x

Passo 7

Queremos l(rcirc(g^-1circ(g^-1cdot g))r)(x).
  1. g^-1(x)=x+1.
  2. Produto (g^-1cdot g)(x)=g^-1(x),g(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1.
  3. Composição g^-1circ(g^-1cdot g):
l(g^-1circ(g^-1cdot g)r)(x)=g^-1(x^2-1)=(x^2-1)+1=x^2
  1. Finalmente
l(rcirc(g^-1circ(g^-1cdot g))r)(x)=r(x^2)=raizx^2=|x|

Resposta

i) (fcirc g)(x)=3x-3
ii) (gcirc f)(x)=3x-1
iii) (fcirc h)(x)=3sin(3x)
iv) (hcirc f^-1)(x)=sin(x)
v) (g^-1circ g)(x)=x
vi) l(rcirc(g^-1circ(g^-1cdot g))r)(x)=|x|

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