Achar a inversa para a função y, se:
y=lg x2
Em que campos serão definidas estas funções inversas?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=lgx2
e queremos encontrar f^-1 e os campos (domínio e imagem) de f e de f^-1. O conteúdo aqui é função inversa e propriedades de logaritmo decimal.

Passo 2

Determinar domínio e imagem de f. Como o argumento do logaritmo precisa ser positivo,
x2>0Longrightarrow x>0,
então
Df=(0,infty)
E como lg de qualquer número positivo varia por todo R, temos
Im(f)= R

Passo 3

Para achar f^-1, trocamos x e y na definição
x=lgy2
e isolamos y. Elevando 10 aos dois lados,
10^x=y2 Longrightarrow y=2cdot10^x
Logo
f^-1(x)=2cdot10^x

Passo 4

Agora os campos de f^-1 são obtidos trocando imagem e domínio de f:
Df^-1=Im(f)= R, Im(f^-1)=Df=(0,infty)

Resposta

f^-1(x)=2cdot10^x, Df^-1= R, Im(f^-1)=(0,infty)

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