Achar o limite lim (x, y) (0,0) x y|x|+|y|.

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) x,ylvert xrvert+lvert yrvert
Aqui trabalhamos com limites de funções de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) para mostrar que esse quociente tende a zero.

Passo 2

Começamos analisando o valor absoluto da função:
llvert x,ylvert xrvert+lvert yrvertrrvert = lvert xrvert,lvert yrvertlvert xrvert+lvert yrvert
Pela desigualdade AM–GM (média aritmética >= média geométrica) temos
lvert xrvert,lvert yrvert ;<=;l(lvert xrvert+lvert yrvert2r)^!2
Substituindo isso no numerador, obtemos
llvert x,ylvert xrvert+lvert yrvertrrvert <= l(lvert xrvert+lvert yrvert2r)^2lvert xrvert+lvert yrvert = lvert xrvert+lvert yrvert4

Passo 3

Como (x,y)to(0,0) implica lvert xrvert+lvert yrvertto0, a estimativa
0 ;<=; llvert x,ylvert xrvert+lvert yrvertrrvert ;<=; lvert xrvert+lvert yrvert4
mostra, pelo Teorema do Confronto, que
lim(x,y)to(0,0) x,ylvert xrvert+lvert yrvert = 0

Resposta

O limite é 0.

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