NOME: NOTA: times 6+ =
OBS. Nas questōes de múltipla escollıa, apenas as respostas serāo consideradas. Na questāo final discursiva o desenvolvimento deve ser apresentado para ser corrigido junto com a resposta.
Para a curva polar r=sen(2 theta), calcule a área da região sombreada.
(a) () pi / 6
(b) ( 1 / 4
(c) ( pi / 8
(d) ( ) 2 pi / 9
(e) ( 3 / 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região sombreada da curva polar r = sin(2theta) . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integração. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e saber aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área A de uma região delimitada por uma curva polar r = f(theta) entre os ângulos alpha e beta é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Isso quer dizer que a gente precisa integrar 12 vezes o quadrado da função r em relação a theta entre dois ângulos específicos.

Passo 3

No nosso caso, a curva é r = sin(2theta) . Vamos primeiro visualizar essa curva. A equação r = sin(2theta) é conhecida como uma rosa de quatro pétalas porque, conforme theta varia de 0 a 2pi , a curva forma quatro pétalas simétricas.

Passo 4

Como são quatro pétalas, a gente pode calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por quatro. Mas, para simplificar, vamos focar em uma petala e encontrar os limites de theta que correspondem a essa pétala.
Para r = sin(2theta) , cada pétala aparece quando 2theta varia de 0 a pi . Portanto, uma pétala corresponde quando theta varia de 0 a pi2 .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da área para uma pétala:
Apétala = 12 integral0^pi2 ( sin(2theta) )^2 , dtheta é
Vamos simplificar sin^2(2theta) usando a identidade trigonométrica:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Aplicando isso:
sin^2(2theta) = 1 - cos(4theta)2

Passo 6

Substituindo na integral:
Apétala = 12 integral0^pi2 1 - cos(4theta)2 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 - cos(4theta)) , dtheta é
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1 - cos(4theta)) , dtheta = theta - sin(4theta)4 + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Apétala = 14 [ (pi2) - sin(4 cdot pi2)4 - (0 - sin(0)4) ] = 14 ( pi2 - sin(2pi)4 ) é
Sabemos que sin(2pi) = 0 , então:
Apétala = 14 cdot pi2 = pi8 é

Resposta

(c) pi / 8

Exercícios relacionados