NOME:
NOTA:
OBS. Nas questōes de múltipla escollıa, apenas as respostas serāo consideradas. Na questāo final discursiva o desenvolvimento deve ser apresentado para ser corrigido junto com a resposta.
Para a curva polar
, calcule a área da região sombreada.
(a)
(b)
(c)
(d) ( )
(e)
OBS. Nas questōes de múltipla escollıa, apenas as respostas serāo consideradas. Na questāo final discursiva o desenvolvimento deve ser apresentado para ser corrigido junto com a resposta.
Para a curva polar
(a)
(b)
(c)
(d) ( )
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região sombreada da curva polar
. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integração. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e saber aplicar a fórmula correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área
de uma região delimitada por uma curva polar
entre os ângulos
e
é:
Isso quer dizer que a gente precisa integrar
vezes o quadrado da função
em relação a
entre dois ângulos específicos.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
. Vamos primeiro visualizar essa curva. A equação
é conhecida como uma rosa de quatro pétalas porque, conforme
varia de
a
, a curva forma quatro pétalas simétricas.
Passo 4
Como são quatro pétalas, a gente pode calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por quatro. Mas, para simplificar, vamos focar em uma petala e encontrar os limites de
que correspondem a essa pétala.
Para
, cada pétala aparece quando
varia de
a
. Portanto, uma pétala corresponde quando
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula da área para uma pétala:
Vamos simplificar
usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Resposta
(c)