Achar o limite lim (x, y) (0,0) 4 x y^2-3 x^3x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) 4xy^2-3x^3x^2-y^2,
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, vamos aproximar (x,y)to(0,0) por diferentes trajetórias e ver se obtemos sempre o mesmo valor.

Passo 2

Considere a trajetória reta y = m,x, com mneq pm1. Substituindo,
numerador=4x(m,x)^2-3x^3=x^3(4m^2-3),
denominador=x^2-(m,x)^2=x^2(1-m^2)
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4xy^2-3x^3x^2-y^2 =x^3(4m^2-3)x^2(1-m^2) =x;4m^2-31-m^2 longrightarrow 0 quando xto0
Então, por retas com mneq pm1, o limite é 0.

Passo 3

Agora tome uma trajetória que se aproxime de y=x mas não anule o denominador, por exemplo
y = x + k,x^2, kneq0
Calculamos para xto0:
y^2=(x+kx^2)^2 =x^2+2k,x^3+k^2x^4,
numerador =4x,y^2-3x^3 =4xl(x^2+2k x^3+cdotsr)-3x^3 =x^3+8k,x^4+O(x^5),
denominador =x^2-y^2 =-2k,x^3-k^2x^4 =-2k,x^3l(1+tfrack2xr)
Assim
4xy^2-3x^3x^2-y^2 =x^3(1+8k,x+O(x^2))-2k,x^3(1+tfrack2x) =-12k,1+8k,x+O(x^2)1+tfrack2x longrightarrow -12k
Esse valor depende de k.

Passo 4

Pelas retas com mneqpm1 o limite é 0, mas por y=x+kx^2 o limite é -1/(2k), que varia com k. Como há trajetórias que dão resultados diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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