NOME:
NOTA:
OBS. Nas questōes de múltipla escollıa, apenas as respostas serāo consideradas. Na questāo final discursiva o desenvolvimento deve ser apresentado para ser corrigido junto com a resposta.
Marque a alternativa correta para a cônica
.
(a) ( ) O centro fica no ponto
.
(b) ( ) A excentricidade vale
.
(c) ( ) O semieixo maior vale 8 e o semieixo menor vale 2.
(d)
Os vértices estão nos pontos
e
.
(e) ( ) Os focos estão nos pontos
e
OBS. Nas questōes de múltipla escollıa, apenas as respostas serāo consideradas. Na questāo final discursiva o desenvolvimento deve ser apresentado para ser corrigido junto com a resposta.
Marque a alternativa correta para a cônica
(a) ( ) O centro fica no ponto
(b) ( ) A excentricidade vale
(c) ( ) O semieixo maior vale 8 e o semieixo menor vale 2.
(d)
(e) ( ) Os focos estão nos pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre cônicas! A gente tem a equação
e precisa descobrir qual das alternativas está correta. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre elipses, que fazem parte do estudo das cônicas. Vamos precisar completar os quadrados para colocar a equação na forma padrão da elipse e, assim, encontrar características como o centro, os eixos e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
:
Fazemos isso adicionando e subtraindo 1, que é
.
Passo 4
Em seguida, completamos o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o 4:
Aqui, adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses e depois multiplicamos pelo 4.
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Vamos isolar os termos de
e
:
Dividindo tudo por 16 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 7
Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse com centro em
, eixo maior de comprimento
(logo,
) e eixo menor de comprimento
(logo,
).
Passo 8
Vamos calcular a excentricidade
da elipse usando a fórmula:
Passo 9
Analisando as alternativas:
- (a) O centro está em
, não . Errado. - (b) A excentricidade calculada é
. Correto. - (c) O semieixo maior é 4 e o semieixo menor é 2. Errado.
- (d) Os vértices estão em
e . Não correspondem aos pontos citados. Errado. - (e) Os focos são
. Então, os focos estão em , não em e . Errado.
Resposta
A alternativa correta é a (b) A excentricidade vale
.