NOME: NOTA: times 6+ =
OBS. Nas questōes de múltipla escollıa, apenas as respostas serāo consideradas. Na questāo final discursiva o desenvolvimento deve ser apresentado para ser corrigido junto com a resposta.
Marque a alternativa correta para a cônica x^2+4 y^2-2 x+16 y+1=0.
(a) ( ) O centro fica no ponto (1,2).
(b) ( ) A excentricidade vale raiz3 / 2.
(c) ( ) O semieixo maior vale 8 e o semieixo menor vale 2.
(d) ( Os vértices estão nos pontos (-4,0),(4,0),(0,-2) e (0,2).
(e) ( ) Os focos estão nos pontos (-3,-2) e (5,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre cônicas! A gente tem a equação x^2 + 4 y^2 - 2x + 16 y + 1 = 0 e precisa descobrir qual das alternativas está correta. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre elipses, que fazem parte do estudo das cônicas. Vamos precisar completar os quadrados para colocar a equação na forma padrão da elipse e, assim, encontrar características como o centro, os eixos e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação agrupando os termos de x e de y :
x^2 - 2x + 4 y^2 + 16 y + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x :
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Fazemos isso adicionando e subtraindo 1, que é (22)^2.

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado para os termos de y . Primeiro, fatoramos o 4:
4(y^2 + 4y) = 4[(y + 2)^2 - 4] = 4(y + 2)^2 - 16
Aqui, adicionamos e subtraímos 4 dentro do parênteses e depois multiplicamos pelo 4.

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + 4(y + 2)^2 - 16 + 1 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2 - 16 = 0

Passo 6

Vamos isolar os termos de x e y :
(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2 = 16
Dividindo tudo por 16 para deixar a equação na forma padrão:
(x - 1)^216 + (y + 2)^24 = 1

Passo 7

Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse com centro em (1, -2) , eixo maior de comprimento 2a = 8 (logo, a = 4 ) e eixo menor de comprimento 2b = 4 (logo, b = 2 ).

Passo 8

Vamos calcular a excentricidade e da elipse usando a fórmula:
e = raiz1 - b^2a^2 = raiz1 - 416 = raiz1 - 0.25 = raiz0.75 = raiz32

Passo 9

Analisando as alternativas:
  • (a) O centro está em (1, -2) , não (1, 2) . Errado.
  • (b) A excentricidade calculada é raiz32 . Correto.
  • (c) O semieixo maior é 4 e o semieixo menor é 2. Errado.
  • (d) Os vértices estão em (1 pm 4, -2) = (-3, -2) e (5, -2) . Não correspondem aos pontos citados. Errado.
  • (e) Os focos são c = a e = 4 times raiz32 = 2raiz3 . Então, os focos estão em (1 pm 2raiz3, -2) , não em (-3,-2) e (5,-2) . Errado.

Resposta

A alternativa correta é a (b) A excentricidade vale raiz32.

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