Achar o limite lim (x, y) 0 f(x), onde
f(x, y)=ccc x y sen(1x) & se & x neq 0 0 & se & x=0

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0)f(x,y),
onde
f(x,y)= x,y,sinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0
O conteúdo é cálculo de limite em duas variáveis e vamos usar uma estimativa com o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observamos que, para todo xneq0, vale
l|sinl(tfrac1xr)r|<=1
Logo,
l|f(x,y)r| =l|x,y,sinl(tfrac1xr)r| <=|x,y|,

Passo 3

Como |x,y|<=|x|cdot|y| e quando (x,y)to(0,0) ambos |x| e |y| tendem a zero, resulta que
|x,y|to0
Pelo Teorema do Confronto, temos
l|f(x,y)r|<=|x,y|to0 Longrightarrow f(x,y)to0

Resposta

lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

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