Achar o limite lim (x, y, z) (0,0,0) x+y+zx+z.

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y,z)to(0,0,0) x+y+zx+z
O conteúdo envolve limites de funções de várias variáveis e a verificação da existência do limite, que exige o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0,0).

Passo 2

Para provar que o limite exista, precisamos mostrar que, ao nos aproximarmos de (0,0,0) por quaisquer curvas ou retas no espaço, o valor de x+y+zx+z tende ao mesmo número. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Escolhendo o caminho em que y=0 e z=0, temos
x+y+zx+z =x+0+0x+0 =1
Ao fazermos xto0, o valor da função tende a 1.

Passo 4

Agora escolhemos outro caminho: x=0 e y=z. Então
x+y+zx+z =0+z+z0+z =2zz =2
Ao fazermos zto0, o valor da função tende a 2.

Passo 5

Como ao aproximar de (0,0,0) pelo caminho (x,0,0) o limite é 1 e pelo caminho (0,z,z) o limite é 2, os valores não coincidem. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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