Calcular, se existir, o limite
lim (x, y) (0,0) x^3x y+y

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0), ou seja,
lim(x,y)to(0,0)x^3xy+y
Para saber se esse limite existe, a ideia é testar diferentes “caminhos” de aproximação e ver se o valor resultado é sempre o mesmo. Se variar de um caminho para outro, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para entender melhor a expressão:
x^3xy + y =x^3y,(x+1)
Aqui vemos que perto de (0,0) temos x+1neq0, então o comportamento singular vem de y no denominador.

Passo 3

Escolhemos a parametrização y = k,x^3, com kneq0 constante. Substituindo,
x^3y,(x+1) =x^3(k,x^3),(x+1) =1k,(x+1)
Fazendo xto0 nessa expressão, obtemos
limxto01k,(x+1)=1k

Passo 4

Como o valor tfrac1k depende de k, diferentes escolhas de k dão resultados distintos (por exemplo, k=1 1, enquanto k=2 tfrac12). Logo, o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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