e pede o limite de quando . O conteúdo aqui é limite em várias variáveis, e vamos usar o método de aproximação por curvas (ou “caminhos”) para ver se o valor de se mantém o mesmo ao nos aproximarmos da origem por trajetórias distintas.
Passo 2
Primeiro, suponha um caminho simples, por exemplo
com . Nesse caso
então
Isso sugere que, por esse caminho, fto0.
Passo 3
Para testar a existência de limite, precisamos ver se qualquer outro caminho conduz ao mesmo valor. Agora escolhemos um caminho em que o denominador x+y tende a zero muito mais rápido que o numerador. Definimos
y(t)=t, x(t)=-t+t^4, z(t)=t,
com tto0. Note que
x(t)+y(t)=(-t+t^4)+t=t^4neq0
para tneq0, e (x(t),y(t),z(t))to(0,0,0). Calculamos então