Considere a função f(x, y, z)=y^2 zx+y. Existe lím(x, y, z) (0,0,0) f(x, y, z) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=y^2zx+y
e pede o limite de f(x,y,z) quando (x,y,z)to(0,0,0). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis, e vamos usar o método de aproximação por curvas (ou “caminhos”) para ver se o valor de f se mantém o mesmo ao nos aproximarmos da origem por trajetórias distintas.

Passo 2

Primeiro, suponha um caminho simples, por exemplo
x(t)=t, y(t)=t, z(t)=t,
com tto0. Nesse caso
x(t)+y(t)=2t,
então
fl(x(t),y(t),z(t)r) =t^2cdot t2t =t^32t =t^22 ;xrightarrow[tto0];0
Isso sugere que, por esse caminho, fto0.

Passo 3

Para testar a existência de limite, precisamos ver se qualquer outro caminho conduz ao mesmo valor. Agora escolhemos um caminho em que o denominador x+y tende a zero muito mais rápido que o numerador. Definimos
y(t)=t, x(t)=-t+t^4, z(t)=t,
com tto0. Note que
x(t)+y(t)=(-t+t^4)+t=t^4neq0
para tneq0, e (x(t),y(t),z(t))to(0,0,0). Calculamos então
fl(x(t),y(t),z(t)r) =y(t)^2,z(t)x(t)+y(t) =t^2cdot tt^4 =t^3t^4 =1t ;xrightarrow[tto0];infty
Aqui f diverge, não tende a zero nem a um valor finito comum.

Passo 4

Como pelo primeiro caminho fto0 e pelo segundo ftoinfty, os valores não coincidem. Logo não existe um único valor L tal que
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=L

Resposta

Não existe o limite.

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