Achar o limite de cada ítem abaixo:
\lim _{x \longrightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{x}}
Esse é um caso de forma indeterminada do tipo 1^\infty, pois \cos x\to1 e 1/x\to\pm\infty. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural e depois voltar pela exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{x}}.
Assumindo que o limite existe e é positivo, podemos escrever
\ln L = \lim_{x\to0}\ln\bigl((\cos x)^{\frac{1}{x}}\bigr) = \lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x}.

Passo 3

Agora precisamos achar
\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x}.
Para x pequeno, usamos a expansão de Taylor:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \quad\Longrightarrow\quad \ln(\cos x) = \ln\!\Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr) \approx -\frac{x^2}{2} + o(x^2).

Passo 4

Substituindo na razão, temos
\frac{\ln(\cos x)}{x} \approx \frac{-\tfrac{x^2}{2}}{x} = -\frac{x}{2}.
Tomando limite em x\to0, fica
\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x} = \lim_{x\to0}\Bigl(-\tfrac{x}{2}\Bigr) = 0.
Logo \ln L = 0.

Passo 5

Finalmente, voltando pela exponencial, obtemos
L = e^{\ln L} = e^0 = 1.

Resposta

\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{x}} = 1.

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