Determinar o limite dos perímetros de n-polígonos regulares, inscritos numa circunferência de raio R e circunscritos ao seu torno, quando n \longrightarrow+\infty.

Passo 1

Resumindo o enunciado: determina-se os limites dos perímetros de polígonos regulares de n lados inscritos e circunscritos a uma circunferência de raio R quando n\to+\infty. O conteúdo envolve sequências de funções trigonométricas e uso dos limites \sin x/x e \tan x/x para x\to0.

Passo 2

No caso do polígono inscrito, cada lado tem comprimento 2R\sin(\pi/n), logo o perímetro é
P_{\mathrm{insc}}(n)=2nR\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
Para calcular o limite, escrevemos
n\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\pi\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}\longrightarrow\pi,
e assim
\lim_{n\to\infty}P_{\mathrm{insc}}(n)=2R\pi=2\pi R.

Passo 3

No caso do polígono circunscrito, cada lado mede 2R\tan(\pi/n), e o perímetro é
P_{\mathrm{circ}}(n)=2nR\tan\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
Analogamente, nota-se que
n\tan\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\pi\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}\longrightarrow\pi,
de onde segue
\lim_{n\to\infty}P_{\mathrm{circ}}(n)=2\pi R.

Passo 4

Ambos os perímetros convergem para o mesmo valor, que é o comprimento da circunferência de raio R.

Resposta

\lim_{n\to\infty}P_{\mathrm{insc}}(n)=2\pi R
\lim_{n\to\infty}P_{\mathrm{circ}}(n)=2\pi R

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